Etude de la géométrie optimale des zones de contrôle dans des problèmes de stabilisation
Résumé
In this Ph.D thesis, we deal with the optimization of the uniform exponential decay rate of the wave equation on a one- or two-dimensional domain W. The energy decrease is due to a constant damping k on a subset w. The decay rate is given by the spectral abscissa m of the operator associated to the problem, and in the two-dimensional case by a geometrical quantity g, first introduced by Bardos, Lebeau and Rauch. We establish that the spectral abscissa is differentiable with respect to k at the origin, and we study this derivative J in order to approximate m by the product of k and J. In the first part, we address the theoretical properties of the functionals J and g. We characterize the optimal geometries in the case of an interval or a square for some particular values of the area constraint. In the case of a square, we obtain an algorithm for the exact calculus of the geometrical quantity in the case where w is the union of square based on a new theorem of limits inversion. The second part of the thesis is dedicated to the numerical optimization of the quantities J and g by different types of genetic algorithms. The obtained results are not intuitive.
Dans cette thèse, nous traitons de l'optimisation du taux de décroissance exponentielle uniforme de l'équation des ondes sur un domaine W mono ou bidimensionnel. L'amortissement se fait à l'aide d'un feedback en vitesse égal à une certaine constante k sur un sous domaine w. Ce taux de décroissance est lié à l'abscisse spectrale m de l'opérateur associé au problème et à une quantité géométrique g, introduite par Bardos, Lebeau et Rauch dans le cas bidimensionnel. On montre que l'abscisse spectrale est dérivable par rapport à k à l'origine, et on étudie cette dérivée J pour approximer m par le produit de k et J. Dans la première partie de la thèse, nous étudions de façon théorique les fonctionnelles J et g. Nous caractérisons les géométries optimales dans le cas d'un intervalle ou d'un carré pour des valeurs particulières de la contrainte d'aire. Dans le cas du carré, nous concevons un algorithme de calcul exact de la quantité géométrique dans le cas où w est un réunion de carrés basé sur un nouveau théorème d'interversion de limites. La seconde partie est dédiée à l'optimisation numérique des quantités J et g à l'aide de différents algorithmes génétiques. Les résultats obtenus ne sont pas intuitifs.