Tenseur d'impulsion-énergie et géométrie spinorielle extrinsèque
Résumé
The results of this thesis are motivated by a better understanding of the energy-momentum tensor in spin geometry. We first investigate extrinsic spin geometry. We give relations between restrictions to a Riemannian submanifold of spinorial objects and objects defined in an intrinsic way. We then prove estimates for the first eigenvalue of a Dirac operator which is defined on compact spin Riemannian submanifolds. It turns out that the study of hypersurfaces gives a natural setup for the study of the energy-momentum tensor associated with a spinor field. We construct a generalized warped product which allows to consider this tensor as the second fundamental form of an isommetric immersion. Finally, we characterize surfaces in S[exponent 3] and H[exponent 3] in terms of special sections of the spin bundle, as well as parallel hypersurfaces in R[exponent 4].
La principale motivation des travaux de cette thèse est de mieux comprendre le rôle du tenseur d'énergie-impulsion en géométrie spinorielle.On s'intéresse dans un premier temps à la géométrie spinorielle extrinsèque. On relie les restrictions à une sous-variété riemannienne d'objets spinoriels aux objets définis de manière intrinsèque. En particulier, on donne des estimations pour la première valeur propre d'un opérateur de Dirac défini sur les sous-variétés riemanniennes spinorielles compactes. Il apparaît alors que le cadre des hypersurfaces est un cadre naturel pour l'étude du tenseur d'énergie-impulsion associé à un champ de spineurs. On construit un produit tordu généralisé permettant de voir ce dernier comme la seconde forme fondamentale d'une immersion isométrique. On caractérise enfin les surfaces de S[exposant 3] et H[exposant 3] en terme de sections spéciales du fibré des spineurs, ainsi que les hypersurfaces parallèles de R[exposant 4].