Analysis and control of opinion dynamics
Analyse et contrôle de systèmes de dynamiques d'opinions
Résumé
Opinion dynamics systems aroused renewed interest in the Control System Theory and Applied Mathematics communities. This can be explained by the emergence of online social networks and the possibility of exploiting and understanding associated behaviours and data. Opinion dynamic models are special cases of multi-agent systems. These systems have various applications such as controlling the behaviour of a fleet of collaborative robots. A system of opinion dynamics is thus composed of several agents. The state of each agent is then modeled by a real number, which represents the agent's opinion on a certain subject. The mathematical models of opinion dynamics then describe the evolution of agents' opinions over time. Many results have been obtained on the asymptotic behaviour of these systems, notably on convergence towards consensus, when the opinion of all agents of the system tend towards the same value. The less well known transient state also presents interesting phenomena such as the formation of local transient agreements, which are more tricky to define. A study of these phenomena is presented for discrete-time opinion dynamics systems with generic state dependent influence functions. The main contribution proposes a criterion for detecting the formation of these local agreements, as well as a prediction of the duration during which this criterion is verified. The second part of this thesis focuses on opinion dynamics in continuous time in which one of the agents, called leader, has a particular role: the evolution of its opinion is controllable. For systems with time and state-dependent influence functions and under certain conditions, a control law is presented that allows the leader to gather all agents in its neighbourhood in finite time and then steer them to a desired consensus value. In addition, the problem of time optimal control which consists in bringing all agents together in the neighborhood of the leader in minimal time is also examined for the case of only state-dependent influence functions. The Pontryagin Maximum Principle specifies the class of admissible optimal controls with implicit expressions within a general framework. For the particular case where there is no interaction between agents, the time-optimal control law has been obtained in practice for any initial conditions
Les dynamiques d'opinions suscitent un regain d'intérêt de la part des communautés d'Automatique et de Mathématiques Appliquées. Cela peut s'expliquer par l'émergence des réseaux sociaux en ligne et de la possibilité d'exploiter et comprendre les comportements et données associés. Les modèles de dynamiques d'opinions sont des cas particuliers de systèmes multi-agents. Ces systèmes ont des applications diverses comme par exemple le contrôle du comportement d'une flotte de robots collaboratifs. Un système de dynamique d'opinions est ainsi constitué de plusieurs agents. L'état de chaque agent est alors modélisé par un réel qui représente l'opinion de celui-ci à propos d'un certain sujet. Les modèles mathématiques de dynamiques d'opinions décrivent alors l'évolution des opinions des agents dans le temps. De nombreux résultats ont été obtenus sur le régime asymptotique de ces systèmes, notamment sur la convergence vers le consensus, lorsque les opinions de tous les agents du système tendent vers la même valeur. Le régime transitoire, moins bien connu, présente également des phénomènes intéressants comme la formation d'accords locaux transitoires mais qui sont plus délicats à définir. Une étude de ces phénomènes est présentée pour des systèmes de dynamiques d'opinions à temps discret avec fonctions d'influence génériques dépendant de l'état. La contribution principale propose un critère de détection de la formation de ces accords locaux, ainsi que la prédiction de la durée pendant laquelle ce critère est vérifié. La seconde partie de cette thèse se concentre sur les dynamiques d'opinions en temps continu dont un des agents, appelé leader, a un rôle particulier : l'évolution de son opinion est contrôlable. Le leader est utilisé pour rassembler tous les agents dans son voisinage en temps fini, puis pour les amener vers une valeur de consensus désirée. La loi de commande proposée est valide pour des systèmes à fonctions d'influence dépendant du temps et de l'état et sous certaines conditions. De plus, le problème de contrôle en temps optimal consistant à rassembler tous les agents dans le voisinage du leader en temps minimal est examiné. Ceci est effectué dans le cas particulier de fonctions d'influence dépendant uniquement de l'état. Afin de déterminer la classe des commandes optimales admissible, le Principe du Maximum de Pontryagin est utilisé. Dans un cadre général, la commande optimale est précisée sous la forme de relations implicites. Pour le cas particulier où il n'y a pas d'interaction entre les agents, la loi de commande en temps optimal a été obtenue en pratique pour toute condition initiale
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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