On suppose d'abord que ? est géométriquement fini et sans parabolique ,
) est un domaine fondamental pour cette action. Pour montrer que ? agit cocompactement sur C(??), on cherchè a montrer que D ? C(??) est d'adhérence compacte dans H n . Il suffit de voir que son adhérence n'a pas de point au bord, Noter que si un point p ? ? ? H n est dans ??, puisque ? est géométriquement fini et qu'il n'admet pas de parabolique, alors p est un point limite conique ,
Soit x ? D : d'après [Bow95] p.249, D est ?-quasi-convexe (o` u la constante ? ne dépend pas du groupe ni de la dimension), donc la géodésique r = (xp) est dans le ?-voisinage de D. Mais p est un point limite conique de ?, donc il existe une suite d'´ eléments (? n ) de ? telle que la suite (? n (x)) tend vers p en restantàrestant`restantà distance bornée de la géodésique r. Il existe donc une suite d'´ eléments z n ? D qui tend vers p, et telle que l'ensemble des distances d(? n (x), z n ) est borné. Notons alors ? la projection H n ? H n ? : l'ensemble des distances d(?(x), ?(z n )) est borné, mais puisque D est isométriquè a H n ?, d(?(z 0 ), ?(z n )) = d(z 0, Absurde, donc p est un point de discontinuité. Soit maintenant p ? D ? C(??) ? ? ? H n . p est dans D ? ? ? H n donc c'est un point de discontinuité de ?. Mais d'après le résultat d'Anderson, C(??) ? ? ? H n est exactement ??, donc p ? ??. C'est absurde, donc D ? C(??) n'a pas de point au bord de l'espace hyperbolique et donc D ? C(??) est d'adhérence compacte ,
) est compact. Par définition, thick ? (M ) est un ensemble fermé de M = H n ?, donc son intersection avec CM (?) est compacte Une des caractérisations de la finitude géométrique est donc vérifiée. On vérifie ensuite que tout point de l'ensemble limite ?? est un point conique. Ceci assure que ? n'admet pas d'´ elément parabolique. Soit donc p ? ??, et soit x ? C(??) La géodésique r = (xp) estentì erement incluse dans C(??). Soit D C un domaine fondamental pour l'action de ? sur C(??) : D C est compact, donc r rencontre une infinité de copies de D C . Il existe donc une suite (? n ) ,
est le corollaire suivant qui sera utilisé dans la suite de ces travaux pour montrer qu'un groupe est convexe cocompact, voir section 3 Hyperbolic geometry and the moduli space of real binary sextics, Arithmetic and geometry around hypergeometric functions, pp.1-22, 2007. ,
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