Two problems in arithmetic geometry. Explicit Manin-Mumford, and arithmetic Bernstein-Kusnirenko

Résumé : Dans la première partie de cette thèse, on présente des bornes supérieures fines pour le nombre de sous-variétés irréductibles de torsion maximales dans une sous-variété du tore complexe algébrique $(\mathbb{C}^{\times})^n$ et d'une variété abélienne. Dans les deux cas, on donne une borne explicite en termes du degré des polynômes définissants et la variété ambiante. De plus, la dépendance en le degré des polynômes est optimale. Dans le cas du tore complexe, on donne aussi une borne explicite en termes du degré torique de la sous-variété. En conséquence de ce dernier résultat, on démontre les conjectures de Ruppert, et Aliev et Smyth pour le nombre de points de torsion isolés dans une hypersurface. Ces conjectures bornent ce nombre en terme, respectivement, du multi-degré et du volume du polytope de Newton d'un polynôme définissant l'hypersurface.Dans la deuxième partie de cette thèse, on présente une borne supérieure pour la hauteur des zéros isolés, dans le tore, d'un système de polynômes de Laurent sur un corps adélique qui satisfait la formule du produit. Cette borne s'exprime en termes des intégrales mixtes des fonctions toit locales associées à la hauteur choisie et le système des polynômes de Laurent. On montre aussi que cette borne est presque optimale dans quelques familles d'exemples. Ce résultat est un analogue arithmétique du théorème de Bern\v{s}tein-Ku\v{s}nirenko.
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Thèse
Algebraic Geometry [math.AG]. Normandie Université, 2017. English. 〈NNT : 2017NORMC224〉
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Soumis le : vendredi 15 décembre 2017 - 16:52:58
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César Martinez Metzmeier. Two problems in arithmetic geometry. Explicit Manin-Mumford, and arithmetic Bernstein-Kusnirenko. Algebraic Geometry [math.AG]. Normandie Université, 2017. English. 〈NNT : 2017NORMC224〉. 〈tel-01665314〉

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