Discrete logarithm in finite fields
Le logarithme discret dans les corps finis
Résumé
Cryptography is the study of techniques for secure communication in the presence of third parties, also called adversaries. Such techniques are detailed in cryptosystems, explaining how to securely encode and decode messages. They are designed around computational hardness assumptions related to mathematical properties, making such algorithms hard to break in practice by any adversary. These protocols are based on the computational difficulty of various problems which often come from number theory, such as integer factorization or discrete logarithms computations. This manuscript focuses on the discrete logarithm problem in finite fields and revolves around three axes.First we detail classical results about the problem without any consideration to the target group. We deal with complexity classes and some general methods that do not need any information on the group.The study of the discrete logarithm problem in finite fields starts with small characteristic ones. The aim is to present a Frobenius representation algorithm that leads to the current discrete logarithm record in characteristic 3.For medium or large characteristics finite fields, another approach is required. The multiple number field sieve reaches the best asymptotic heuristic complexities for this double range of characteristics. We also introduce the notion of nearly sparse matrices. Designing a new algorithm dedicated to explicitly give the kernel of such a matrix eases in practice the linear algebra step of any variant of the number field sieve.
La cryptologie consiste en l’étude des techniques utilisées par deux entités pour communiquer en secret en présence d’une troisième. Les propriétés mathématiques qui sous-tendent ces techniques garantissent que leur attaque reste infaisable en pratique par un adversaire malveillant. Ainsi, les protocoles s’appuient sur diverses hypothèses, comme la di fficulté présumée de factoriser des entiers ou de calculer le logarithme discret d’un élément arbitraire dans certains groupes. Cette thèse qui porte sur le problème du logarithme discret dans les corps finis s’articule autour de trois volets.Nous exposons les résultats théoriques associés au problème sans considération du groupe cible, détaillant ainsi les classes de complexité auxquelles il appartient ainsi que di fférentes approches pour tenter de le résoudre.L’étude du problème dans les corps finis commence en tant que telle par les corps présentant une caractéristique de petite taille relativement à l’ordre total du corps en question. Cette seconde partie résulte sur l’exposition d’un algorithme par représentation de Frobenius dont une application a aboutit au record actuel de calcul de logarithme discret en caractéristique 3.Pour les corps de moyenne ou grande caractéristiques, une autre méthode est requise. Le crible par corps de nombres (NFS) multiples obtient les complexités asymptotiques les plus basses pour un corps arbitraire. Un dernier chapitre introduit la notion de matrice presque creuse. L’élaboration d’un nouvel algorithme spécifique qui explicite le noyau d’une telle matrice facilite en pratique l’étape d’algèbre sous-jacente à toute variante de NFS.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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