Arithmétique et D-modules - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2017

Arithmetic and D-modules

Arithmétique et D-modules

Résumé

This text is a survey of my research articles. It consists of two independent parts. In the first we present the results obtained in collaboration with T. Abe and published mainly in the article "Product formula for $p$-adic epsilon factors". Let $X$ be a proper and smooth curve over a finite field of characteristic $p$. This formula describes the constants appearing in the functional equations of $L$-functions for rigid cohomology of $X$, as a product of local invariants (the epsilon factors) at closed points of $X$. It is the counterpart in rigid cohomology of the Deligne-Laumon formula for epsilon factors in $\ell$-adic étale cohomology. We give an introduction to the context and to the main tools intervening in the proof: the stationary phase formula for arithmetic $D$-modules and the $p$-adic microlocal analysis. We end this part with a theorem describing the Frobenius of Fourier--Huyghe transform and an application to Gross-Koblitz formula. In the second part we present a result in collaboration with A. Iovita published in the article "On the continuity of the finite Bloch--Kato cohomology".
Ce texte est un survol de mes travaux de recherche comprenant deux parties indépendantes. Dans la première nous présentons les résultats obtenus en collaboration avec T. Abe. On se place sur une courbe propre et lisse $X$ sur un corps fini de caractéristique $p$. Le résultat principal est une formule qui décrit les constantes des équations fonctionnelles des fonctions $L$ pour la cohomologie rigide de $X$, comme produit d'invariants locaux (les facteurs epsilon) aux points fermés de $X$. Ce résultat est l'analogue d'une formule de Deligne et Laumon pour les mêmes invariants en cohomologie étale $\ell$-adique, avec $\ell \not = p$. Nous donnons une introduction au contexte et aux outils intervenant dans la preuve : notamment, la phase stationnaire pour les $D$-modules arithmétiques et l'analyse microlocale $p$-adique. On termine la partie par un théorème décrivant le Frobenius de la transformation de Fourier-Huyghe, avec une application à la formule de Gross-Koblitz. Dans la deuxième partie nous présentons un résultat, en collaboration avec A. Iovita, concernant la fonctorialité pour la cohomologie de Bloch-Kato par rapport aux congruences de représentations galoisiennes $p$-adiques.
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Dates et versions

tel-01628170 , version 1 (02-11-2017)
tel-01628170 , version 2 (17-11-2017)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01628170 , version 2

Citer

Adriano Marmora. Arithmétique et D-modules. Théorie des nombres [math.NT]. IRMA, Université de Strasbourg, 2017. ⟨tel-01628170v2⟩
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