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Theses

Positivity and qualitative properties of solutions of fourth-order elliptic equations

Résumé : Cette thèse concerne l'étude de certains problèmes elliptiques d'ordre 4 et, notamment, des propriétés qualitatives des solutions. Ces problèmes apparaîssent dans de nombreux domaines, par example dans la théorie des plaques et dans la géometrie conforme, et, comparés à leurs homologues du deuxième ordre, ils présentent des difficultés intrinsèques, surtout liées à l'absence de principe de maximum. Premièrement on étudie la positivité des solutions dans le cas des conditions au bord de Steklov, qui sont intermédiaires entre les conditions de Dirichlet et de Navier. Elles apparaîssent naturellement dans l'étude des minimiseurs de la fonctionnelle de Kirchhoff-Love, qui représente l'énergie d'une plaque encastrée soumise à l'action d'une force extérieure, en fonction d'un paramètre $\sigma$. On trouve des conditions suffisantes sur le domaine pour que les minimiseurs de la fonctionnelle soient positifs. De plus, pour ces domaines, on étudie une version généralisée de la fonctionnelle. En utilisant des techniques variationnelles, on examine l'existence et la positivité des états fondamentaux, ainsi que leur comportement asymptotique pour les valeurs pertinentes de $\sigma$. Dans la deuxième partie de la thèse on établit des estimations uniformes a priori pour des problèmes semilinéaires du quatrième ordre dans $\mathbb R^4$ avec des nonlinéarités exponentielles. On considère des conditions au bord soit de Dirichlet soit de Navier et on suppose que les nonlinéarités sont positives et sous-critiques. Nos arguments combinent des estimations uniformes près du bord et une analyse de blow-up. Enfin, en utilisant la théorie du degré, on obtient l'existence d'une solution.
Document type :
Theses
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01619228
Contributor : Giulio Romani <>
Submitted on : Thursday, October 19, 2017 - 11:02:34 AM
Last modification on : Thursday, January 23, 2020 - 6:22:13 PM
Document(s) archivé(s) le : Saturday, January 20, 2018 - 2:32:27 PM

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PhD Thesis - Giulio Romani.pdf
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  • HAL Id : tel-01619228, version 1

Citation

Giulio Romani. Positivity and qualitative properties of solutions of fourth-order elliptic equations. Analysis of PDEs [math.AP]. Aix Marseille Université; Università degli Studi di Milano, 2017. English. ⟨tel-01619228⟩

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