Foliated harmonic maps and rigidity of laminations
Applications harmoniques laminéees et rigidité des feuilletages
Résumé
Let Λ and Ξ be laminations provided with riemannian metrics. A map f : Λ → Ξ is a laminated harmonic map if f sends leaves to leaves and is leafwise harmonic. In this thesis, we study the existence problem for laminated harmonic maps and we study their rigidity properties. We generalize convergence results due to Gromov - initially restricted to the case when Λ is a foliation and Ξ is a manifold - and we prove that, when Λ is provided with a transverse measure of finite volume and Ξ is compact with leafwise non positive curvature, the heat flow converges weakly to a F-harmonic measure. A strong convergence is shown to hold under homotopic assumptions. We also study the fibered-laminated problem : find harmonic section of Ξ → Λ, assuming that the leaves of Ξ are flat fibrations over the leaves of Λ. After studying the structure of measures on the boundary at infinity of Hadamard manifolds, we generalize a geometric reductivity criterion due to Labourie and we give a weak convergence theorem for the fibered-laminated heat flow. We also give stability criterions for harmonic mappings based on a Bochner type formula for the distance function. These existence and stability results are useful to study the rigidity of laminations. We extend Sampson and Schoen-Yau's existence theorem of harmonic diffeomorphisms when Λ and Ξ are laminated by hyperbolic Riemann surfaces. This is a first step towards a description of a measurable laminated Teichmüller space. We also use the fibered-laminated interpretation of superrigidity and a stability criterion to prove a stability theorem for superrigid group actions over fibrations. This last result was proven independantly, with completely different methods, by Margulis and Quian
Si Λ et Ξ sont des laminations munies de métriques riemanniennes, une application f : Λ → Ξ est une application harmoniques laminée si f envoie les feuilles de Λ sur celles de Ξ et si f est harmonique feuille à feuille. Dans cette thèse, nous étudions l'existence d'applications harmoniques laminées et leurs propriétés de rigidité. Nous généralisons les théorèmes de convergence de Gromov - démontrés initialement lorsque Λ est un feuilletage, et Ξ une variété riemannienne - et nous démontrons que lorsque Λ est munie d'une mesure transverse de volume fini et Ξ est compacte, à courbure négative ou nulle sur les feuilles, le flot de la chaleur converge faiblement vers une mesure F-harmonique. De plus, il y a convergence forte sous des conditions homotopiques. Nous étudions également le problème fibré-laminé : trouver des sections harmoniques de Ξ → Λ lorsque les feuilles de Ξ sont des fibrés plats au dessus des feuilles de Λ. En étudiant la structure des mesures sur le bord à l'infini des variétés d'Hadamard, nous généralisons un critère de réductivité géométrique de Labourie, et nous démontrons un théorème de convergence faible pour le flot de la chaleur fibré-laminé. Nous donnons également des critères de stabilité pour les applications harmoniques, basés sur une formule de Bochner pour la fonction distance. Ces résultats d'existence et de stabilité peuvent s'appliquer pour étudier la rigidité des feuilletages. Nous démontrons ainsi une extension du théorème d'existence de difféomorphismes harmoniques de Sampson et Schoen-Yau lorsque Λ et Ξ sont des laminations par des surfaces de Riemann hyperboliques. Ce résultat permet d'envisager une description de l'espace de Teichmüller mesurable grâce aux applications harmoniques. Enfin, nous utilisons l'interprétation fibré-laminée de la superrigidité et les critères de stabilité pour les applications harmoniques pour démontrer un résultat de stabilité pour les actions de groupes superrigides sur des fibrés principaux. Un résultat du même type a été démontré indépendamment par Margulis et Quian, et des méthodes complètement différentes.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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