Points on algebraic curves over function fields, primes in arithmetic progressions : beyond Bombieri-Pila and Bombieri-Vinogradov theorems

Résumé : E. Bombieri et J. Pila ont introduit une méthode qui donne les bornees sur le nombre de points entiers qui sont appartiennent d'un arc donné (sous les plusieurs hypothèses).Dans la partie algébrique nous généralisons la méthode de Bombieri Pila pour le cas des champs de fonction de genre $0$ avec une variable. Ensuite, nous appliquons le résultat pour calculer le nombre de courbes elliptiques qui sont dans la même classe d'isomorphisme avec leurs coefficients dans une petite boîte.Une fois que nous avons prouvé ça, la question naturelle est de savoir si nous pouvons l'améliorer dans certains cas particuliers. Nous allons étudier le cas des courbes elliptiques en utilisant la partie de conjecture par Birch Swinnerton-Dyer, les propriétés des fonctions de hauteur bien avec les empilements compacts.Après, dans une partie analytique nous donnons la version explicite du théorème de Bombieri Vinogradov. Ce théorème est un résultat important concerne le terme d'erreur dans le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, pris en moyenne sur les modules $q$ variant jusqu'à $Q$. Notre but est d'améliorer les résultats existant de cette façon (voir cite{Akbary2015}), donc nous pouvons réduire la puissance du facteur logarithmique en utilisant l'inégalité de grand crible et l'identité de Vaughan.
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Thèse
Number Theory [math.NT]. Université Paris-Saclay, 2017. English. 〈NNT : 2017SACLS178〉
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Soumis le : lundi 11 septembre 2017 - 13:53:05
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Alisa Sedunova. Points on algebraic curves over function fields, primes in arithmetic progressions : beyond Bombieri-Pila and Bombieri-Vinogradov theorems. Number Theory [math.NT]. Université Paris-Saclay, 2017. English. 〈NNT : 2017SACLS178〉. 〈tel-01585244〉

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