Raffinement de maillage spatio-temporel pour les équations de Maxwell
Résumé
During the course of the thesis, we first carried out the analysis of certain methods of mesh refinement existing. This allowed us to identify phenomena of instability, it seems, new, associated with this type of schema.
This is the reason that has led us to seek a new way to get around this difficulty. We then constructed and analyzed a new stable spatial-temporal grid refinement method applied to the simulation of wave propagation. We study alternatively the potentialities of such a method for the Maxwell equations and the wave equation, the ultimate goal imposed by the Gramat study center being to realize a code
computer of mesh refinement for the Yee scheme in the case of 3 dimensions.
This constraint has thus oriented us towards methods of refinement based on schemes with finite differences. We were initially interested in a method of refinement analogous to those found in the literature, ie using spatio-temporal interpolations to perform the connection between grids of different discretizations. Unfortunately, the stability of these methods proved to be poorly controlled or at the cost of a significant deterioration in results. Since stability seems to be the main obstacle to the connection between two different meshes, we have therefore sought schemes to guarantee stability via the conservation of discrete energy. The finite difference scheme we found proved to be stable and accurate and confirmed the validity of our strategy. Unfortunately, the finite difference approach to the method whatever conceptually simple, leads to rapidly inextricable calculations if one seeks to construct a schema in the three-dimensional case. We therefore thought of developing an abstract formalism, encompassing the one-dimensional method, in order to construct a very general variational method. If, for reasons
we present the latter applied to the three-dimensional Yee scheme, there is no doubt that the reader will see there applications to other types of discretization.
Au cours du déroulement de la thèse, nous avons tout d'abord été amenés à effectuer l'analyse de certaines méthodes de raffinement de maillage existantes. Ceci nous a permis d'identifier des phénomènes d'instabilité, semble-t-il, nouveaux, associés à ce type de schéma.
C'est la raison qui nous a conduit à chercher une nouvelle voie pour contourner cette difficulté. Nous avons ensuite construit et analysé une nouvelle méthode stable de raffinement de grille spatio-temporelle appliquée à la simulation de la propagation des ondes. Nous étudions alternativement les potentialités d'une telle méthode pour les équations de Maxwell et l'équation des ondes, le but ultime imposé par le centre d'étude de Gramat étant de réaliser un code
informatique de raffinement de maillage pour le schéma de Yee dans le cas de 3 dimensions.
Cette contrainte nous a donc orienté vers des méthodes de raffinement basées sur des schémas aux différences finies. Nous nous sommes dans un premier temps intéressé à une méthode de raffinement analogue à celles trouvées dans la littérature, c'est à dire utilisant des interpolations spatio-temporelles pour effectuer le raccord entre des grilles de discrétisations différentes. Malheureusement, la stabilité de ces méthodes s'est avérée très mal contrôlée ou au prix d'une détérioration des résultats non négligeable. La stabilité semblant être le principal écueil pour effectuer le raccord entre deux maillages différents, nous avons donc recherché des schémas permettant de garantir la stabilité via la conservation d'une énergie discrète. Le schéma aux différences finies que nous avons trouvé s'est révélé être stable et précis et nous a donc confirmé le bien-fondé de notre stratégie. Malheureusement, l'approche différences finies de la méthode quoi que conceptuellement simple, conduit à des calculs rapidement inextricables si l'on cherche à construire un schéma dans le cas à trois dimensions. Nous avons donc pensé à élaborer un formalisme abstrait, englobant la méthode trouvée à une dimension, afin de construire une méthode variationnelle très générale. Si, pour des raisons
contractuelles, nous présentons cette dernière appliquée au schéma de Yee à 3 dimensions, il ne fait pas de doute que le lecteur saurait y voir des applications à d'autres types de discrétisation.