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Theses

Fonctionnelles de processus de Lévy et diffusions en milieux aléatoires

Résumé : Pour V un processus aléatoire càd-làg, on appelle diffusion dans le milieu aléatoire V la solution formelle de l’équation différentielle stochastique \[ dX_t = - \frac1{2} V'(X_t) dt + dB_t, \] où B est un mouvement brownien indépendant de V . Le temps local au temps t et à la position x dela diffusion, noté LX(t, x), donne une mesure de la quantité de temps passé par la diffusion au point x, avant l’instant t. Dans cette thèse nous considérons le cas où le milieu V est un processus de Lévyspectralement négatif convergeant presque sûrement vers −∞, et nous nous intéressons au comportementasymptotique lorsque t tend vers l’infini de $\mathcal{L}_X^*(t) := \sup_{\mathbb{R}} \mathcal{L}_X(t, .)$ le supremum du temps local de ladiffusion, ainsi qu’à la localisation du point le plus visité par la diffusion. Nous déterminons notammentla convergence en loi et le comportement presque sûr du supremum du temps local. Cette étude révèleque le comportement asymptotique du supremum du temps local est fortement lié aux propriétés desfonctionnelles exponentielles des processus de Lévy conditionnés à rester positifs et cela nous amène àétudier ces dernières. Si V est un processus de Lévy, V ↑ désigne le processus V conditionné à rester positif.La fonctionnelle exponentielle de V ↑ est la variable aléatoire $\int_0^{+ \infty} e^{- V^{\uparrow} (t)}dt$ . Nous étudions en particulier sa finitude, son auto-décomposabilité, l’existence de moments exponentiels, sa queue en 0, l’existence et larégularité de sa densité.
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Theses
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Contributor : Abes Star :  Contact
Submitted on : Wednesday, May 31, 2017 - 12:49:43 PM
Last modification on : Thursday, March 5, 2020 - 6:49:28 PM
Document(s) archivé(s) le : Wednesday, September 6, 2017 - 4:03:02 PM

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gregoire-vechambre_3350_vm.pdf
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Identifiers

  • HAL Id : tel-01529762, version 1

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Grégoire Véchambre. Fonctionnelles de processus de Lévy et diffusions en milieux aléatoires. Mathématiques générales [math.GM]. Université d'Orléans, 2016. Français. ⟨NNT : 2016ORLE2038⟩. ⟨tel-01529762⟩

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