The Generalised Radon Transform and its Applications to Seismic
La Transformée de Radon Généralisée et ses Applications à la Sismique
Résumé
The objective of this thesis is the study of the Generalized Radon transforms and some of their applications to seismic oil exploration. The Radon transform of a multidimensional image consists in integrating this image along curve families (for 2D images, or along surfaces for 3D images), each point of the transform being the result of an integration. The transformed domain can have advantages to apply some processing before returning to the original domain if the inverse transform is known. The concept of Radon decomposition, very close to the Radon transform, consists in expressing an image as a superposition of curves (or surfaces, or other geometric shapes) affected by a certain amplitude, i.e. as a linear combination of curves, the amplitudes being the coefficients of the
combination. The amplitudes are thus obtained by the resolution of a linear system.
In a first step we study the properties of the different 2D transforms and the different families of curves used in seismic (straight lines, parabolas, and hyperbolas). The study of the sampling of the different variables of the problem makes possible on the one hand to confirm simple rules to determine the sampling intervals and to show the consequences of over- and sub-sampling. Spatial aliasing, in particular, leads to a dispersion of the energy in the transformed domain. We also study the 3D linear Radon decomposition (on families of planes).
The Radon decomposition problem is generally undetermined, and most of the time solved by the least squares method. This simple and effective method -for this problem- has nevertheless important limitations. Among them is the impossibility of properly dealing with spatially aliased data, which are common in seismic. The sparse decompositions, which are based on the principle of decomposing the image using the least possible number of curves, provide solutions to these limitations. In turn, these methods have disadvantages, in particular a high sensitivity to the estimation of the noise level present in the data, or a significant cost in computing time. The problem of estimating the noise level can be solved by automatic and local estimation of signal-to-noise ratios. The conjugate gradient is the ideal optimization method for all these decompositions (adapted in the framework of IRLS (Iteratively Reweighted Least Squares) algorithms for sparse decompositions).
In a second step we use the Radon decompositions for applications to trace interpolation and resampling along two spatial directions, for, the decompositions can in fact be applied to data having any geometry, regular or irregular. Spatial aliasing imposes the use of the sparse decompositions. These allow to interpolate traces across gaps whose size can reach 6 times the theoretical sampling interval. Larger gaps require the use of other techniques than the Radon decompositions.
L’objectif de cette thèse est l’étude des transformées de Radon généralisées et de certaines de leurs
applications à la sismique d’exploration pétrolière. La transformée de Radon d’une image multidimensionnelle
consiste à intégrer cette image le long de familles de courbes (pour les images 2D, ou de
surfaces pour les images 3D), chaque point de la transformée étant le résultat d’une intégration. Le
domaine transformé peut présenter des avantages pour appliquer certains traitements avant de revenir
dans le domaine original si on connaît la transformée inverse. Le concept de décomposition de Radon,
très proche de la transformée de Radon, consiste à vouloir exprimer une image comme une superposition
de courbes (ou de surfaces, ou d’autres formes géométriques) affectées d’une certaine amplitude, c’est
à dire comme une combinaison linéaire de courbes, les amplitudes étant les coefficients de la
combinaison. Les amplitudes sont donc obtenues par la résolution d’un système linéaire.
Dans un premier temps nous étudions les propriétés des différentes transformées 2D et des différentes
familles de courbes utilisées en sismique (droites, paraboles, et hyperboles). L’étude de
l’échantillonnage des différentes variables du problème permet d’une part de confirmer des règles
simples pour la détermination des pas d’échantillonnage et d’autre part de montrer les conséquences du
sur et du sous échantillonnage. L’aliasing spatial notamment conduit à une dispersion de l’énergie dans
le domaine transformé. Nous étudions également la décomposition de Radon linéaire 3D (sur des
familles de plans).
Le problème de la décomposition de Radon est en général sous-déterminé, et la plupart du temps
résolu par la méthode des moindres carrés. Cette méthode simple et efficace -pour ce problème- possède
néanmoins des limitations importantes. Parmi celles-ci l’impossibilité de traiter correctement des
données spatialement aliasées, qui sont pourtant courantes en sismiques. Les décompositions
parcimonieuses, qui reposent sur le principe de décomposer l’image en utilisant le moins de courbes
possible, apportent des réponses à ces limitations. A leur tour ces méthodes présentent toutefois des
inconvénients, notamment une grande sensibilité à l’estimation du niveau de bruit présent sur les
données, ou encore un coût important en temps de calcul. Le problème de l’estimation du niveau de bruit
peut être résolu par une estimation automatique et locale des rapports signal/bruit. Le gradient conjugué
est la méthode d’optimisation idéale pour toutes ces décompositions (adapté dans le cadre des
algorithmes IRLS (Iteratively Reweighted Least Squares) pour les décompositions parcimonieuses).
Dans un deuxième temps nous utilisons les décompositions de Radon pour des applications
d’interpolation et de rééchantillonnage de traces suivant deux directions spatiales, les décompositions
pouvant en effet s’appliquer à des données de géométries quelconques, régulières ou irrégulières.
L’aliasing spatial impose l’utilisation des décompositions parcimonieuses. Ces dernières permettent
d’interpoler des traces au travers de gaps dont la taille peut atteindre 6 fois le pas d’échantillonnage
théorique. Des gaps plus grands nécessitent l’utilisation d’autres techniques que les décompositions de
Radon.
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