Holonomy fields and random matrices: invariance by braids and permutations.

Résumé : Cette thèse porte sur plusieurs questions liées aux mesures de Yang-Mills planaires et aux champs markoviens d'holonomies planaires. Les problèmes sont de deux sortes : étude des champs markoviens d'holonomies planaires pour un groupe de structure donné et l'étude asymptotique des mesures de Yang-Mills lorsque la dimension du groupe tend vers l'infini. Dans le chapitre nommé ``Champs markoviens d'holonomies", on définit la notion de champs markoviens d'holonomies planaires qui axiomatise la notion de mesures de Yang-Mills planaires. En utilisant une nouvelle symétrie en théorie des probabilités, l'invariance par tresse, on construit, caractérise et classifie les champs markoviens d'holonomies planaires. En particulier, nous montrons que tout champ markovien d'holonomies planaire est associé à un processus de Lévy qui satisfait une condition de symétrie et vice-versa. Ceci nous permet de caractériser, pour les surfaces sphériques, les champs markoviens d'holonomies tels que définis précédemment par Thierry Lévy. Lorsque le processus de Lévy est à valeurs dans le groupe symétrique $\mathfrak{S}(N)$ on peut construire le champ markovien d'holonomies planaire associé grâce à un modèle de revêtements aléatoires. On s'intéresse alors à la convergence des monodromies de ce revêtement aléatoire dans le chapitre nommé ``Revêtements ramifiés'' en s'appuyant sur l'étude générale de l'asymptotique des matrices aléatoires invariantes par conjugaison par le groupe symétrique développée dans les chapitres nommés ``Partitions et géométrie'' et ``Matrices aléatoires invariantes par le groupe symétrique''. Ceci permet d'étendre les techniques développées par Thierry Lévy, pour l'étude de la mesure de Yang-Mills sur le groupe unitaire en grande dimension, afin d'étudier la mesure de Yang-Mills sur le groupe des permutations en grande dimension. Les chapitres de thèse ``Partitions et géométrie'' et ``Matrices aléatoires invariantes par le groupe symétrique'', dans lesquels sont étudiées les matrices aléatoires invariantes par conjugaison par des sous-groupes du groupe unitaire, peuvent se lire indépendamment du reste de la thèse.
Type de document :
Thèse
Mathematics [math]. Université Paris VI, 2016. English
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Contributeur : Franck Gabriel <>
Soumis le : samedi 25 mars 2017 - 17:26:34
Dernière modification le : jeudi 27 avril 2017 - 09:46:08

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Franck Gabriel. Holonomy fields and random matrices: invariance by braids and permutations.. Mathematics [math]. Université Paris VI, 2016. English. <tel-01495593>

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