Optimal transport for data assimilation of images
Transport optimal pour l'assimilation de données images
Résumé
Forecasting of a physical system is computed by the help of a mathematical model. This model needs to be initialized by the state of the system at initial time. But this state is not directly measurable and data assimilation techniques are generally used to estimate it. They combine all sources of information such as observations (that may be sparse in time and space and potentially include errors), previous forecasts, the model equations and error statistics. The main idea of data assimilation techniques is to find an initial state accounting for the different sources of informations. Such techniques are widely used in meteorology, where data and particularly images are more and more numerous due to the increasing number of satellites and other sources of measurements. This, coupled with developments of meteorological models, have led to an ever-increasing quality of the forecast.
Spatial consistency is one specificity of images. For example, human eyes are able to notice structures in an image. However, classical methods of data assimilation do not handle such structures because they take only into account the values of each pixel separately. In some cases it leads to a bad initial condition. To tackle this problem, we proposed to change the representation of an image: images are considered here as elements of the Wasserstein space endowed with the Wasserstein distance coming from the optimal transport theory. In this space, what matters is the positions of the different structures.
This thesis presents a data assimilation technique based on this Wasserstein distance. This technique and its numerical procedure are first described, then experiments are carried out with a 1D Shallow-Water model, and results are shown. In particularly, it appears that this technique was able to give an analysis of corrected position.
Spatial consistency is one specificity of images. For example, human eyes are able to notice structures in an image. However, classical methods of data assimilation do not handle such structures because they take only into account the values of each pixel separately. In some cases it leads to a bad initial condition. To tackle this problem, we proposed to change the representation of an image: images are considered here as elements of the Wasserstein space endowed with the Wasserstein distance coming from the optimal transport theory. In this space, what matters is the positions of the different structures.
This thesis presents a data assimilation technique based on this Wasserstein distance. This technique and its numerical procedure are first described, then experiments are carried out with a 1D Shallow-Water model, and results are shown. In particularly, it appears that this technique was able to give an analysis of corrected position.
Pour prédire l'évolution d'un système physique, nous avons besoin d'initialiser le modèle mathématique le représentant, donc d'estimer la valeur de l'état du système au temps initial. Cet état n'est généralement pas directement mesurable car souvent trop complexe. En revanche, nous disposons d'informations du système, prises à des temps différents, incomplètes, mais aussi entachées d'erreurs, telles des observations, de précédentes estimations, etc. Combiner ces différentes informations partielles et imparfaites pour estimer la valeur de l'état fait appel à des méthodes d'assimilation de données dont l'idée est de trouver un état initial proche de toutes les informations. Ces méthodes sont très utilisées en météorologie.
Nous nous intéressons dans cette thèse à l'assimilation d'images, images qui sont de plus en plus utilisées en tant qu'observations. La spécificité de ces images est leur cohérence spatiale, l'oeil humain peut en effet percevoir des structures dans les images que les méthodes classiques d'assimilation ne considèrent généralement pas. Elles ne tiennent compte que des valeurs de chaque pixel, ce qui résulte dans certains cas à des problèmes d'amplitude dans l'état initial estimé. Pour résoudre ce problème, nous proposons de changer d'espace de représentation des données : nous plaçons les données dans un espace de Wasserstein où la position des différentes structures compte. Cet espace, équipé d'une distance de Wasserstein, est issue de la théorie du transport optimal et trouve beaucoup d'applications en imagerie notamment.
Dans ce travail nous proposons une méthode d'assimilation variationnelle de données basée sur cette distance de Wasserstein. Nous la présentons ici, ainsi que les algorithmes numériques liés et des expériences sur des modèles de Saint-Venant 1D montrant ses spécificités. Nous verrons dans les résultats comment elle permet de corriger ce qu'on appelle erreurs de position.
Nous nous intéressons dans cette thèse à l'assimilation d'images, images qui sont de plus en plus utilisées en tant qu'observations. La spécificité de ces images est leur cohérence spatiale, l'oeil humain peut en effet percevoir des structures dans les images que les méthodes classiques d'assimilation ne considèrent généralement pas. Elles ne tiennent compte que des valeurs de chaque pixel, ce qui résulte dans certains cas à des problèmes d'amplitude dans l'état initial estimé. Pour résoudre ce problème, nous proposons de changer d'espace de représentation des données : nous plaçons les données dans un espace de Wasserstein où la position des différentes structures compte. Cet espace, équipé d'une distance de Wasserstein, est issue de la théorie du transport optimal et trouve beaucoup d'applications en imagerie notamment.
Dans ce travail nous proposons une méthode d'assimilation variationnelle de données basée sur cette distance de Wasserstein. Nous la présentons ici, ainsi que les algorithmes numériques liés et des expériences sur des modèles de Saint-Venant 1D montrant ses spécificités. Nous verrons dans les résultats comment elle permet de corriger ce qu'on appelle erreurs de position.
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