On positive loops of loose Legendrian embeddings

Sur les lacets positifs des plongements legendriens lâches

Guogang Liu (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

In the thesis, we have studied the problem of positive Lengendrian isotopies. That is to say, the isotopies preservepo the contact structure and the hamiltonnian functions of the isotopies are positive. We have proved that for a loose Legendrian there exists a positive loop of Legendrian embeddings based in it. We treated this result in two cases. In lower dimensions cases, we constructed positive loops by hand. In higher dimensions cases, we applied the advanced h-principle techniques. Given a loose Legendrian embedding, firstly, by the holonomic approximation, we constructed a loop of Legendrian embeddings based in it which is positive away from a finite number of disks. Secondly, we deformed it to a positive loop by the idea of convex integration. The result has two immediate applications. Firstly, we reprove the theorem that the spaces of contact elements are tight without holomorphic curves techniques. Secondly, we proved the contact product of an overtwisted contact manifold is overtwisted and the diagonal is loose, furthermore, the diagonal is in positive loop. In the end, we have defined a partial order on the universal cover of the contactomorphism group by positive Legendrian isotopies in the contact product. It will help us to study the properties of contactomorphism via positive Legendrian isotopies.

Dan la thèse, on a étudié le problème des isotopies legendriennes positif. C'est-à-dire que les isotopies presérvent le structure de contact et les fonctions Hamiltoniennes associés sont positif. On a montré que si une sou-variété legendrienne est l\^ache, il existe un lacet positif des plongements legendriennes basé sur lui. On a le trait en deux cas, le cas en dimension un et deux, l'autre en grandes dimensions. Dans les cas en bases dimensions, on a construit des lacets positive par la main. Dans les autres cas, on a utilisé les techniques de h-principe advancé, c'est-à-dire, la approximation holonome ridé et la intégration convexe pour les relations «non-ample». Avec la approximation holonome ridé, on a obtenue un lacet de plongements Legendriennes qui est positive sauf que en un ensemble fini des discs. Puis, on a le deformé à un lacet positif par l'idée de la intégration convexe. Ce resulat a deux applications immédiates. On donne une simple démonstraion san les techniques de courbes holomorphes pour le Théorème : les espaces des elements de contact, muni de la structure standard sont tendues. On a aussi montré le produit contact de une variété de contact vrillées est vrillées et la diagonale est lâche, de puis la diagonal est dans un lacet positif. Isotopies positif legendriennes relient aux ordres de le revêtement universel de la groupe de contactomorphisme. On a définit un ordre par isotopies positif legendriennes dan le produit contact. Il nous aide de étudié les propriétés de contactomorphisme en manière de isotopies positifs legendriens.

Mots clés: contact geometry; contact manifold; Legendrian submanifold; positive Legendrian isotopy; loop of positive Legendrian isotopy; h-principle; loose Legendrian embedding; partial order

Mots clés: géométrie de contact; variété de contact; sou-variété legendrienne; isotopie positif legendrienne; lacet positif de legendrienne; h-principe; sou-variété legendrienne lâche; ordre partiel

Domaines: Géométrie symplectique [math.SG]

Guogang Liu. On positive loops of loose Legendrian embeddings. Symplectic Geometry [math.SG]. Université de Nantes, 2016. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01466282⟩