On the 16-rank of class groups of quadratic number fields
Sur le 16-rang des groupes des classes de corps de nombres quadratiques
Résumé
We prove two new density results about 16-ranks of class groups of quadratic number fields. The first of the two is that the class group of Q(sqrt{-p}) has an element of order 16 for one-fourth of prime numbers p that are of the form a^2+c^4 with c even. The second is that the class group of Q(sqrt{-2p}) has an element of order 16 for one-eighth of prime numbers p=-1 (mod 4). These density results are interesting for several reasons. First, they are the first non-trivial density results about the 16-rank of class groups in a family of quadratic number fields. Second, they prove an instance of the Cohen-Lenstra conjectures. Third, both of their proofs involve new applications of powerful sieving techniques developed by Friedlander and Iwaniec. Fourth, we give an explicit description of the 8-Hilbert class field of Q(sqrt{-p}) whenever p is a prime number of the form a^2+c^4 with c even; the lack of such an explicit description for the 8-Hilbert class field of Q(sqrt{d}) is the main obstacle to improving the estimates for the density of positive discriminants d for which the negative Pell equation x^2-dy^2=-1 is solvable. In case of the second result, we give an explicit description of an element of order 4 in the class group of Q(sqrt{-2p}) and we compute its Artin symbol in the 4-Hilbert class field of Q(sqrt{-2p}), thereby generalizing a result of Leonard and Williams. Finally, we prove a power-saving error term for a prime-counting function related to the 16-rank of the class group of Q(sqrt{-2p}), thereby giving strong evidence against a conjecture of Cohn and Lagarias that the 16-rank is governed by a Chebotarev-type criterion.
Nous démontrons deux nouveaux résultats de densité à propos du 16-rang des groupes des classes de corps de nombres quadratiques. Le premier des deux est que le groupe des classes de Q(sqrt{-p}) a un élément d'ordre 16 pour un quart des nombres premiers p qui sont de la forme a^2+c^4 avec c pair. Le deuxième est que le groupe des classes de Q(sqrt{-2p}) a un élément d'ordre 16 pour un huitième des nombres premiers p=-1 (mod 4). Ces résultats de densité sont intéressants pour plusieurs raisons. D'abord, ils sont les premiers résultats non triviaux de densité sur le 16-rang des groupes des classes dans une famille de corps de nombres quadratiques. Deuxièmement, ils prouvent une instance des conjectures de Cohen et Lenstra. Troisièmement, leurs preuves impliquent de nouvelles applications des cribles développés par Friedlander et Iwaniec. Quatrièmement, nous donnons une description explicite du sous-corps du corps de classes de Hilbert de degré 8 de Q(sqrt{-p}) lorsque p est un nombre premier de la forme a^2+c^4 avec c pair; l'absence d'une telle description explicite pour le sous-corps du corps de classes de Hilbert de degré 8 de Q(sqrt{d}) est le frein principal à l'amélioration des estimations de la densité des discriminants positifs d pour lesquels l'équation de Pell négative x^2-dy^2=-1 est résoluble. Dans le cas du deuxième résultat, nous donnons une description explicite d'un élément d'ordre 4 dans le groupe des classes de Q(sqrt{-2p}) et on calcule son symbole d'Artin dans le sous-corps du corps de classes de Hilbert de degré 4 de Q(sqrt{-2p}), généralisant ainsi un résultat de Leonard et Williams. Enfin, nous démontrons un très bon terme d'erreur pour une fonction de comptage des nombres premiers qui est liée au 16-rang du groupe des classes de Q(sqrt{-2p}), donnant ainsi des indications fortes contre une conjecture de Cohn et Lagarias que le 16-rang est contrôlé par un critère de type Chebotarev.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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