Algorithmes pour l'étude des solutions réelles des systèmes polynomiaux - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2007

Algorithmes pour l'étude des solutions réelles des systèmes polynomiaux

Résumé

This presentation summarizes a set of general methods for solving systems of polynomial equations (with or without inequalities), mainly centered on the study of their real roots; The main subject is the “resolution” of systems with an arbitrary number of solutions (finite or infinite), depending or not on parameters. Since the field is vast, one constrains it by imposing it that the algorithms are exact or certified or, in other words, that the results are never ambiguous from the user’s point of view (number or structure of the solutions, numerical approximations when it makes sense, real character of the solutions, etc.). The exposed work was carried out with two principal objectives: to progress in the development of useful effective methods in real geometry, but especially to propose some credible alternatives to the standard tools for scientific computations, with the objective of answering to some open problems (or considered difficult) in various applications. This assessment of several years of work is, in particular, the occasion to show the specific efforts which seem to be necessary to obtain convincing results (efficient implementations, cost of the certification/exactness, balance between theoretical and practical efficiency, etc.) and is articulated around some selected applications which justify the main theoretical, algorithmic but also technical choices.
Cette présentation résume un ensemble de méthodes générales pour la résolution des systèmes d’équations (et d’inéquations/inégalités) polynomiales, axées principalement sur l’étude de leurs racines réelles ; Il s’agit essentiellement de « résoudre » des systèmes admettant ou non une infinité de solutions, dépendant ou non de paramètres. Le sujet étant vaste, on le contraint en imposant que les algorithmes soient exacts ou certifiés, ou, en d’autres termes, que les résultats ne présentent aucune ambigüité du point de vue de l’utilisateur (nombre ou structure des solutions, approximations numériques lorsque cela a un sens, caractère réel des solutions, etc.). Le travail exposé a été effectué avec deux objectifs principaux : progresser dans la mise au point de méthodes effectives utiles en géométrie réelle, mais surtout proposer quelques alternatives crédibles aux outils standards de calcul scientifique, avec pour objectif de répondre à quelques problèmes ouverts (ou réputés difficiles) dans divers domaines applicatifs. Ce bilan de plusieurs années de travail est, en particulier, l’occasion de montrer les efforts spécifiques a priori nécessaires pour arriver à quelques résultats probants (implantation efficace, coût de la certification, balance entre les efficacités théoriques et pratiques) et s’articule autour de quelques applications « fil rouge » ayant motivé les principaux choix théoriques, algorithmiques voir techniques.
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Dates et versions

tel-01435142 , version 1 (13-01-2017)

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  • HAL Id : tel-01435142 , version 1

Citer

Fabrice Rouillier. Algorithmes pour l'étude des solutions réelles des systèmes polynomiaux. Calcul formel [cs.SC]. Université Pierre & Marie Curie - Paris 6, 2007. ⟨tel-01435142⟩
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