DYNAMICAL STUDY OF SOME NONLINEAR HAMILTONIAN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH A GROWING POTENTIAL

ETUDE DYNAMIQUE DE QUELQUES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES HAMILTONIENNES NON LINEAIRES A POTENTIEL CONFINANT

Rafik Imekraz (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

This thesis is concerned by stability of solutions of some non linear Schroedinger partial differential equations (PDE) on Rn with a confining potential and a regular initial condition. Two potentials are studied : the harmonic oscillator multidimensional and the polynomial confining potential unidimensional. In our context, the stability means roughly the following : the solution exists on a time-interval whose length depends polynomially on the smallness of the initial condition (almost global existence) and stays near the solution of an explicit completely integrable equation with the same initial condition. We use the Birkhoff's normal forms theory to handle our issue. The key point is the Hamiltonian structure of our PDE. We create an abstract differential model (which encompasses our PDE) and prove that it has a Birkhoff's normal form of all order, ie a proper renormalization of the Hamiltonian which ensures in particular the stability.

L'objet de la thèse est l'étude de la stabilité des solutions de certaines équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires de type Schrödinger à potentiel confinant sur Rn et à condition initiale régulière. Les deux potentiels étudiés sont l'oscillateur harmonique multi-dimensionnel et le potentiel polynomial confinant unidimensionnel. La stabilité en question peut se résumer ainsi : il existe un intervalle temporel d'existence de la solution telle que sa longueur dépend de façon polynomiale de la petitesse de la condition initiale (existence presque globale) et sur lequel la solution reste dynamiquement proche de la solution d'une équation explicite complètement intégrable (avec même condition initiale). Nous utilisons la théorie des formes normales de Birkhoff pour aborder notre problème. Le point clé est le caractère hamiltonien des EDP concernées. Nous créons un modèle différentiel abstrait (qui comprend l'EDP étudiée) et l'on y démontre l'existence de formes normales de Birkhoff à tout ordre, c'est-à-dire des renormalisations adéquates de l'hamiltonien qui en l'occurrence impliquent la stabilité.

Mots clés: Nonlinear Schroedinger; Confining potential; Hamiltonian system; Birkhoff's normal form; Stability on long time

Mots clés: Schrödinger nonlinéaire; Potentiel confinant; Système hamiltonien; Forme normale de Birkhoff; Stabilité en temps long

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Rafik Imekraz. ETUDE DYNAMIQUE DE QUELQUES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES HAMILTONIENNES NON LINEAIRES A POTENTIEL CONFINANT. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Nantes, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01427359⟩