Towards self dual Loop Quantum Gravity
Vers la Gravité Quantique à Boucles self dual
Résumé
In this PhD thesis, we introduced a new strategy to investigate the kinematical and physical predictions of self dual Loop Quantum Gravity (LQG) and by-passed the old problem of implementing quantum mechanically the so called reality conditions inherent to the self dual phase space.
Since our first motivations come from black holes thermodynamics, we first review, in the third chapter, the loop quantization of spherically isolated horizon based on the SU(2) Ashtekar-Barbero variables leading to the micro-canonical entropy. This approach is based on the effective model of a Chern-Simons connection coupled to point-like particles living on the horizon. Then we present the so called “gas of punctures” model for the isolated horizon, which provides the framework to go beyond the micro-canonical ensemble and compute the canonical and grand-canonical entropy. In the context of this model, we investigate how the assumption of a Bose-Einstein statistic for the punctures impacts the semi-classical result and underline a relation between the condensation phenomenon and the presence of purely logarithmic quantum corrections to the entropy. The presentation of this model enable us to point the different limits and drawbacks of the SU(2) loop quantization of spherically isolated horizon. First, one needs to proceed to an unnatural fine tuning on the Immirzi parameter to obtain the right semi-classical limit in the micro-canonical ensemble. Moreover, this quantization does not predict a holographic behavior for the degeneracy of the hole, as one could expect. Therefore, if one wants to avoid to precedent fine tuning on γ, one is led to assume the so called holographic hypothesis to obtain the right semi classical limit in the context of the gas of puncture model.
The fourth chapter is devoted to studying to what extend the loop quantization based on the self dual variables could cure those problems. Obviously, since no one knows how to quantize the self dual Ashtekar phase space of General Relativity, because of the so called reality conditions, we are led to introduce a new strategy, based on an analytic continuation of the degeneracy from γ ∈ R to γ = ±i. We review in details the construction of the procedure, and present the results. The self dual degeneracy turns out to be naturally holographic, supplemented with some power law corrections which conspired, at the semi classical limit, to provide the expected logarithmic quantum corrections to the entropy. At the leading term, we recover the Bekenstein-Hawking area law. The discrete real area spectrum is turned into a continuous real area spectrum, even if we are now working with γ = ±i. Finally, we recognize that our procedure is a well known map which send the Casimir and the character of the SU(2) compact group into the Casimir and character of the continuous representations of the SU(1,1) non compact group. A detailed discussion on the status of our procedure is provided at the end of the chapter.
The fifth chapter is devoted to understanding more precisely the interplay between the
disappearance of γ in the physical predictions of the quantum theory, the appearance of the SU(1,1) group and the relation with the self dual variables. To to so, we introduce a new toy model of three dimensional gravity admitting a Barbero-immirzi like parameter and SL(2,C) as its symmetry group. The canonical analysis of the toy model in two different gauges, one selecting the compact group SU(2), the second one selecting the non compact SU(1,1) group, allows us to conclude that at least in three dimensional gravity, the presence of γ in the SU(2) phase space is a pure gauge artifact. Finally, the loop quantization of the two phases spaces results in two different kinematical area spectrums, which turn out to be related through our analytic continuation procedure. At the end, we show that it is possible to reformulated the SU(2) phase space in terms of new one, based on a complex SL(2,C) connection, supplemented with some reality constraints. Once solved, the reality conditions reduces the complex SL(2,C) phase space to the SU(1,1) phase space as expected. This chapter allows us to exhibit an interesting mechanism concerning the disappearance of the Immirzi parameter in the predictions of three dimensional loop quantum gravity.
Finally, the sixth chapter is devoted to applying our procedure to the simplest Loop Quantum Cosmology model. By first constructing the LQC dynamics for any arbitrary spin j and then implementing our analytic continuation, we show that our procedure preserves the key features of the LQC models, i.e. we obtain a bouncing universe which admits the right semi classical limit after the bounce.
Dans cette thèse, nous introduisons une nouvelle stratégie afin d’ étudier les prédictions cinématiques et physiques de la Gravité Quantique à Boucles (LQG) écrite à partir des variables complexes d’Ashtekar, le but étant d’obtenir une procédure pour contourner la résolution des contraintes de réalité.
Comme nos motivations proviennent avant tout de la thermodynamique des trous noirs (prédite par la LQG), nous présentons dans le troisième chapitre la quantification à boucles des horizons isolées sphériques, basée sur la connexion d’Ashtekar-Barbero SU(2), donnant l’entropie micro-canonique de l’horizon. Cette approche est basée sur la théorie effective d’une connection de Chern-Simons couplée à des particules ponctuelles (défauts topologiques appellés “piqures”) vivant sur l’horizon. Dans un deuxième temps, nous présentons le modèle dit “gaz de punctures” pour l’horizon isolée, qui permet de d’étudier le trou noir non plus seulement dans l’ensemble micro-canonique, mais aussi dans l’ensemble canonique et grand canonique. Dans ce contexte, nous présentons une étude détaillée de l’influence de la statistique de Bose-Einstein sur la limite semi classique de l’horizon. Cette étude permet de mettre à jour une relation entre le phénomène de condensation des piqures et la présence de corrections quantiques purement logarithmiques associées à l’entropie. Plus généralement, la présentation du modèle dit “gaz de piqures” nous permet de souligner les faiblesses et limitations de la quantification à boucles des horizons isolées basée sur la connexion réelle d’Ashtekar- Barbero SU(2). Premièrement, il est nécessaire de fixer le paramètre réel d’Immirzi à une certaine valeur afin de reproduire la bonne limite semi-classique (ie l’entropie de Bekenstein Hawking) dans l’ensemble micro-canonique. Qui plus est, cette quantification ne prédit pas une comportement holographique concernant la dégénérescence de l’horizon, comme cela est généralement attendu. Par conséquent, afin d’éviter la fixation du paramètre d’Immirzi pour obtenir la bonne limite semi classique, il est nécessaire d’avoir recours de manière ad hoc, à l’hypothèse holographique dans le cadre du modèle du “gaz de piqures”, ce qui n’est pas satisfaisant.
Dans le quatrième chapitre, nous étudions dans quelle mesure la quantification à boucles basée sur les variables complexes d’Ashtekar permettrait une résolution de ces différents problèmes. Comme la quantification directe de la gravité complexe d’Ashtekar n’est pas connue, en raison de la difficulté d’imposer au niveau quantique les contraintes de réalité, nous sommes contraints d’introduire une nouvelle stratégie, basée sur une prolongement analytique de la dégénérescence. Ce prolongement analytique envoie le param`etre d’Immirzi réel à la valeur purement imaginaire. Nous présentons en détails la construction de ce prolongement analytique et les résultats qui en découlent. De manière surprenante, la dégénérescence ainsi calculée s’avère être naturellement holographique. De plus, les lois de puissances présentes dans l’expression de la dégénérescence conspirent pour donner, à la limite semi classique, les corrections logarithmiques attendues. Finalement, nous retrouvons bien en terme dominant l’entropie de Bekenstein-Hawking. Le spectre discret et réel, usuel en LQG, est modifié par notre procédure en un spectre continu et réel, bien que nous travaillons maintenant avec γ = ±i. Enfin, nous reconnaissons dans notre procédure un “mapping” bien connu qui transforme le Casimir et le caractére du groupe compact SU(2) en le Casimir et le caract`ere associés aux représentations continues du groupe non compact SU(1,1).
Le cinquième chapitre est dédié `a l’étude des liens existants entre diff ́erents mécanismes mis en lumière par notre prolongement analytique, à savoir: la disparition du paramètre d’Immirzi γ des prédictions de la théorie, l’apparition du groupe SU(1,1) et la relation avec les variables complexes d’Ashtekar. Pour ce faire, nous introduisons un modèle “jouet” de gravité trois dimensionnelle admettant un paramètre similaire au paramètre d’Immirzi γ et le groupe SL(2,C) comme groupe de symmetrie. L’analyse canonique de ce modèle dans deux jauges différentes, l’une sélectionnant le sous groupe compact SU(2) et la seconde sélectionnant le sous groupe non compact SU(1,1), nous permet de montrer que la présence du paramètre d’Immirzi γ dans l’espace de phase SU(2) de notre modèle est un pure artefact de jauge. Finallement, la quantification à la boucles de ces deux espaces des phases aboutit à deux spectres d’aire quantiques différents (au niveau cinématique), qui se révèlent être reliés par la continuation analytique étudier dans le contexte des trous noirs. Enfin, nous montrons que l’espace de phase SU(2) peut être réexprimé en un espace des phases, décrit par une connexion complexe SL(2,C) accompagnée de contraintes de réalité. Une fois résolues, ces contraintes réduisent ce nouvel espace des phases complexe SL(2,C) à l’espace des phases réel SU(1,1), comme attendue pour la gravité 2+1. Ce modèle “jouet” permet de mettre en lumière un mécanisme intéressant de disparition du paramètre d’Immirzi dans les prédictions de la Gravité Quantique à Boucles 2 + 1.
Finalement, le chapitre six est dédié à l’application de notre prolongement analytique au modèle le plus simple de Cosmologie Quantique à Boucles (LQC). Généralisant tout d’abord la dynamique de la LQC (pour Λ = 0 et pour un univers plat k = 0) à un spin quelconque j (et non plus j = 1/2), nous appliquons ensuite notre procédure. Nous montrons ainsi que notre continuation analytique, de manière surprenante, préserve les résultats fondamentaux de la LQC, à savoir la résolution de la singularité initiale de l’univers quantique, tout en respectant la bonne limite semi-classique après le rebond.