Etude mathématique et numérique de quelques modèles cinétiques et de leurs asymptotiques : limites de diffusion et de diffusion anormale

Résumé : L'objet de cette thèse est la construction de schémas numériques pour les équations cinétiques dans différents régimes de diffusion anormale. Comme le modèle devient raide en s'approchant du modèle asymptotique, les méthodes numériques standard deviennent coûteuses dans ce régime. Les schémas Asymptotic Preserving ont été introduits pour pallier à cette difficulté. Ils sont en effet stables le long de la transition du régime mésoscopique au régime microscopique. Dans le premier chapitre, nous considérons le cas d'une distribution d'équilibre qui est une fonction à queue lourde et dont le moment d'ordre 2 est infini. Le poids important des grandes vitesses de l'équilibre fait tomber la limite de diffusion usuelle en défaut, et on montre que le modèle asymptotique est une équation de diffusion fractionnaire. En nous basant sur une analyse asymptotique formelle de la convergence vers le modèle limite, nous construisons trois schémas AP pour le problème. La discrétisation en vitesse est discutée afin de prendre en compte correctement les grandes vitesses, et nous montrons que le troisième schéma est en outre uniformément précis au cours de la transition vers le régime microscopique. Dans le chapitre 2, nous étendons ces résultats au cas d'une fréquence de collision dégénérée en 0 qui mène aussi à une équation de diffusion fractionnaire. Nous adaptons ensuite ces méthodes numériques au cas d'une limite de diffusion normale avec scaling en temps anormal dans l'équation cinétique dans le chapitre 3. Dans ce cadre, la lenteur de la convergence vers le modèle asymptotique rend nécessaire une adaptation de l'approche AP des chapitres précédents. Enfin, le chapitre 4 présente un schéma AP pour l'équation cinétique dans le cas heavy-tail du chapitre 1 lorsque l'opérateur de collision est non-local.
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Thèse
Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Rennes 1, 2016. Français. 〈NNT : 2016REN1S025〉
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Soumis le : lundi 7 novembre 2016 - 11:01:06
Dernière modification le : vendredi 16 novembre 2018 - 01:22:42
Document(s) archivé(s) le : mercredi 8 février 2017 - 12:53:54

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Hélène Hivert. Etude mathématique et numérique de quelques modèles cinétiques et de leurs asymptotiques : limites de diffusion et de diffusion anormale. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Rennes 1, 2016. Français. 〈NNT : 2016REN1S025〉. 〈tel-01393275〉

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