Kinetische und diffusive Gleichungen für sozio-ökonomische Szenarien
Kinetic and Diffusion Equations for Socio-Economic Scenarios
Équations cinétiques et des diffusions pour des scénarios socio-économiques
Equazioni cinetiche e di diffusione per scenari socio-economici
Résumé
In dieser Arbeit werden drei verschiedene Modelle zur Beschreibung einiger sozioökonomischer Szenarien vorgestellt. Zunächst wird ein Kreuzdiffusionssystem untersucht, welches das Herdenverhalten von Individuen modelliert. Das zweite Modell beschreibt die Dynamik von Agenten in einem großen Markt in Abhängigkeit von dem geschätzten
Vermögenswert eines Produkts und der Rationalität der Agenten. Dies wird mit einer kinetischen inhomogenen Boltzmann-Gleichung modelliert. Das dritte Modell beschreibt den Einuss von Wissen und Wohlstand in einer Gesellschaft, in der die Agenten miteinander durch binäre Wechselwirkungen gemäß einer Boltzmann-Gleichung interagieren.
Die Entropiestruktur des Kreuzdiffusionssystems liefert die Existenz von zeitlich globalen schwachen Lösungen und den exponentiellen Abfall zu einem konstanten stationären Zustand. Darüber hinaus untersuchen wir analytisch lokale Abzweigungen von homogenen stationären Zuständen. Diese Analyse zeigt, dass im Allgemeinen eine Lücke existiert zwischen jenem Parameterberich, in dem der Entropieansatz gültig ist, und jenem, in dem die erste lokale Bifurkation
liegt. Im zweiten Modell wird eine nicht lineare nicht lokale Fokker-Planck-Gleichung mit anisotroper Diffusion hergeleitet. Die Existenz von zeitlich globalen schwachen Lösungen für das Fokker-Planck-Anfangs-Randwertproblem wird mit Hilfe eines Entropieansatzes bewiesen. Für das dritte Modell beweisen wir die Existenz von Lösungen für
die Boltzmann-Gleichung.
Für alle Modelle wurden verschiedene numerische Verfahren implementiert: für das Kreuzdiffusionssystem verwenden wir numerische Fortsetzungsmethoden, um bifurkierende inhomogene stationäre Zustände global zu verfolgen, und um nicht triviale Herdenlösungen zu bestimmen. Wir haben festgestellt, dass die Hauptgrenzen im Parameterbereich
durch den ersten lokalen Bifurkationspunkt, die Entartung der Diffusionsmatrix und eine gewisse Gültigkeitsbedingung für den Abfall der Entropie gegeben sind. Im zweiten Modell stellen numerische Simulationen für die Boltzmann-
Gleichung die Bedeutung der Zuverlässigkeit der öffentlichen Information bei der Bildung von Spekulationsblasen und Crashs heraus. Die Verwendung von Bollinger-Bändern in den Simulationen zeigt, wie Herdenverhalten zu starken Preistrends führen kann, aber letztendlich auch zu abrupten Korrekturen. Im letzten Modell implementieren wir die Boltzmann-Gleichung. Der kinetische Code zeigt die Möglichkeit der Clusterbildung unter Verwendung von bestimmten Schwellenwerten für Wissen und Wohlstand.
In this thesis three different models for describing some socio-economic scenarios are presented. First, a cross-diffusion system modelling the information herding of individuals has been studied; the second model describes the dynamics of agents in a large market depending on the estimated asset value of a product and the rationality of the agents using a kinetic inhomogeneous Boltzmann-type equation. The third model describes the influence of knowledge and wealth in a society where the agents interact with the others through binary interactions via a Boltzmann equation.
The entropy structure of the cross-diffusion system gives us the global-in-time existence of weak solutions and the exponential decay to the constant steady state. Moreover, we investigate local bifurcations from homogeneous steady states analytically and this analysis shows that generically there is a gap in the parameter regime between the
entropy approach validity and the first local bifurcation.
In the second model, a nonlinear nonlocal Fokker-Planck equation with anisotropic diffusion is derived. The existence of global-in-time weak solutions to the Fokker-Planck initial-boundary-value problem is proved using the entropy approach.
For the third model we prove the existence of weak solutions for the Boltzmann equation.
For each model studied several numerical simulations has been implemented: for the cross-diffusion system we used numerical continuation methods to track the bifurcating non-homogeneous steady states globally and to determine non-trivial herding solutions. We find that the main boundaries in the parameter regime are given by the first local
bifurcation point, the degeneracy of the diffusion matrix and a certain entropy decay validity condition. In the second model, numerical simulations for the Boltzmann equation highlight the importance of the reliability of public information
in the formation of bubbles and crashes. The use of Bollinger bands in the simulations shows how herding may lead to strong trends with low volatility of the asset prices, but eventually also to abrupt corrections. In the last model we implement the Boltzmann equation. The kinetic code shows the possibility of cluster formation, using certain specific
threshold.
Dans cette thèse, trois modèles différents de description de certains scénarios socio-économiques sont présentés et pour chaque modèle étudié, plusieurs simulations numériques ont été mises en œuvre.
D'abord, nous avons étudié un système de diffusion croisée modélisant le phénomène d'herding dans une foule pour les individus. La structure d'entropie du système de diffusion-croisée nous donne l'existence globale des solutions faibles et la décroissance exponentielle à l'état stationnaire constant. De plus, nous avons étudié analytiquement les bifurcations locales à partir d'états stables homogènes et cette analyse a nous montré qu'il existe génériquement un écart dans le régime de paramètres entre la validité de l'approche entropique et la première bifurcation locale. Nous avons utilisé des méthodes de continuation numérique pour suivre les états stables globale non homogènes et pour déterminer des solutions d'herding non triviales.Nous avons constaté que les limites principales dans le régime de paramètres sont données par le premier point de bifurcation local, la dégénérescence de la matrice de diffusion et une certaine condition de validité de décroissance d'entropie.
Le deuxième modèle décrit la dynamique des agents dans un grand marché en fonction de la valeur estimée des actif d'un produit et de la rationalité des agents en utilisant une équation cinétique non homogène de Boltzmann. Nous avons dérivée une équation de Fokker-Planck non linéaire, non locale avec diffusion anisotrope et nous avons prouvé l'existence de solutions faibles du problème de Fokker-Planck en utilisant l'approche de l'entropie. Pour ce modèle, les simulations numériques de l'équation de Boltzmann soulignent l'importance de la fiabilité de l'information publique dans la formation des bulles et des crashs. L'utilisation de bandes de Bollinger dans les simulations montre comment le herding peut conduire à des fortes tendances avec une faible volatilité des prix des actifs, mais finalement aussi à des corrections abruptes.
Le troisième modèle décrit l'influence de la connaissance et de la richesse dans une société où les agents interagissent avec les autres par des interactions binaires via une équation de Boltzmann.
Nous avons démontré l'existence de solutions faibles pour l'équation de Boltzmann. Le code cinétique montre la possibilité de formation de clusters en utilisant certains seuils spécifique pour les interactions.
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