THE GENERALIZED POLAND-SCHERAGA MODEL: A BIVARIATE RENEWAL APPROACH TO DNA DENATURATION
Le modèle de Poland-Scheraga généralisé: une approche de renouvellement bidimensionnel pour la dénaturation de l’ADN.
Résumé
The Poland-Scheraga (PS) model is the standard basic model to study the denaturation transition of two complementary and equally long strands of DNA. This model has enjoyed a remarkable attention because it is exactly solvable in its homogeneous version. The solvable character is related to the fact that the homogeneous PS model can be mapped to a discrete renewal process. In the bio-physical literature a generalization of the model, allowing different length and non complementarity of the strands, has been considered and the solvable character extends to this substantial generalization.
In this thesis we present a generalized version of the PS model that allows mismatches and non complementary strands (in particular, the two strands may be of different lengths). We consider first the homogeneous model and we exploit that this model can be mapped to a bivariate renewal process. The distribution K(⋅) of the location (in two dimensions) of the first contact between the two strands is assumed to be of the form K(n + m) = (n + m)−α−2L(n + m) with α ≥ 0 and L(⋅) slowly varying and corresponds to a loop with n bases in the first strand and m in the second. We study the localization-delocalization transition and we prove the existence of transitions inside the localized regime. We then present precise estimates on the path properties of the model.
We then study the disordered version of the model by including a sequence of inde- pendent and identically distributed random variables with two indices. We focus on the influence of disorder on the denaturation transition: we want to determine whether the presence of randomness modifies the critical properties of the system with respect to the homogeneous case. We prove that the disorder is irrelevant if α < 1. We show also that for α > 1, the quenched and annealed critical points differ (basing on coarse graining techniques and fractional moment method), proving the presence of a relevant disorder regime.
Le modèle de Poland-Scheraga (PS) est le modèle standard pour étudier la transition de dénaturation de deux brins d’ADN complémentaires et de même longueur. Ce modèle a fait l’objet d’une attention remarquable car il est exactement résoluble dans sa version homogène. Le caractère résoluble est lié au fait que le modèle PS homogène peut être mis en correspondance avec un processus de renouvellement discret. Dans la littérature biophysique une généralisation du modèle, obtenue en considérant des brins non complé- mentaires et de longueurs différentes, a été considérée et le caractère résoluble s’étend à cette généralisation substantielle.
Dans cette thèse, nous présentons une analyse mathématique du modèle de Poland- Scheraga généralisé. Nous considérons d’abord le modèle homogène et nous exploitons que les deux brins de la chaîne peuvent être modélisés par un processus de renouvellement en deux dimensions. La distribution K(⋅) de l’emplacement (bidimensionnel) du premier contact entre les deux brins est supposée de la forme K(n+m) = (n+m)−α−2L(n+m) avec α ≥ 0 et L(⋅) à variation lente et correspond à une boucle avec n bases dans le premier brin et m dans le deuxième. Nous étudions la transition de localisation-délocalisation et nous montrons l’existence des transitions à l’intérieur de la phase localisée. Nous présentons ensuite des estimations précises sur les propriétés de chemin du modèle.
Ensuite, nous étudions la version désordonnée du modèle en incluant une séquence de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées à deux indices. Nous nous concentrons sur l’influence du désordre sur la transition de dénaturation: nous voulons déterminer si la présence des inhomogénéités modifie les propriétés critiques du système par rapport au cas homogène. Nous prouvons que le désordre est non pertinent si α < 1 et nous montrons que pour α > 1, les points critiques gelés et recuits diffèrent (basant sur les techniques de coarse graining et la méthode des moments fractionnaires), ce qui prouve la présence d’un régime de désordre pertinent.
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