On the calculation of invariants and generation of transverse knots on three-dimensional contact manifolds
Sur le calcul d'invariants et l'engendrement des noeuds transverses dans les variétés de contact de dimension trois
Résumé
We study the properties of classical and advanced invariants for transverse knots in three-dimensional contact manifolds. In a given isotopy class, we can construct infinitely many different Legendrian knots. Colin, Giroux and Honda have proved however that, in the standard contact three-dimensional sphere, if we fix the Turston-Bennequin-invariant and the knot isotopy class, the Legendrian knots are finite. We investigate a transverse version of this result.
In a first part, we show that the transverse finiteness conjecture can be reduced by push-off to the study of the finiteness of Legendrian knots which can't be destabilized.
In a second part, we prove that all the Legendrian knot classes in a knot isotopy class can be obtained from a finite set of Legendrien knots with Lutz modifications on a finite number of torus. Then we explain how this generation result can be used to build a bypass in specific simple cases.
In the last part, we study the cylindrical contact homology of a transverse knot by putting it in the binding of an open book decomposition with pseudo-Anosov monodromy. Then we prove that in case where the fractional Dehn twist coefficient is large enough, this contact homology has exponential growth.
Le sujet de cette thèse est l'étude et le calcul d'invariants classiques et avancés pour les nœuds transverses dans les variétés de contact de dimension trois. Dans une classe d'isotopie lisse de nœuds, on peut construire une infinité de classes d'isotopie legendrienne de nœuds différentes. Colin, Giroux et Honda ont cependant montré que dans la sphère de contact standard de dimension trois, si on fixe la classe d'isotopie lisse et l'invariant de Thurston-Bennequin, ces classes d'isotopie legendrienne sont alors en nombre fini. On étudie dans cette thèse l'équivalent transverse de ce résultat.
Dans un premier temps, on montre que la conjecture de finitude transverse se ramène à la finitude des nœuds legendriens non déstabilisables par l'utilisation de translations legendriennes/transverses.
Dans un deuxième temps, on démontre que dans une classe d'isotopie lisse de nœuds, on peut obtenir toutes les classes d'isotopies legendriennes de nœuds non déstabilisables, à partir d'un nombre fini d'entre eux et de modifications de Lutz sur un nombre fini de tores. Dans des cas modèles, on fait le lien entre modification de Lutz et présence de rocade.
Dans une dernière partie, on étudie l'homologie de contact cylindrique d'un nœud transverse que l'on aura placé dans la reliure d'un livre ouvert avec une monodromie pseudo-Anosov. On prouve alors que pour un coefficient de twist de Dehn fractionnaire suffisamment grand, le taux de croissance de cette homologie est exponentiel.
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