Étude des états fondamentaux du Laplacien magnétique avec annulation locale du champ

Résumé : Cette thèse concerne l'étude spectrale de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique $h$, sur un domaine borné et régulier $\Omega$ en dimension $2$, avec condition de Neumann au bord. On s'intéresse plus particulièrement au cas où le champ magnétique s'annule sur une union de courbes régulières. L'objectif est de comprendre l'influence d'une annulation du champ et d'expliciter le comportement des basses valeurs propres et des fonctions propres associées lorsque $h$ tend vers $0$. Dans cette limite - dite semi-classique - la description précise des éléments propres passe par la compréhension de différents opérateurs modèles sous-jacents. La première partie est consacrée au cas d'un champ magnétique qui s'annule de manière non dégénérée le long d'une courbe régulière simple intersectant le bord du domaine. La deuxième partie concerne le cas d'une annulation quadratique à l'intérieur du domaine. Dans de ces deux cas d'étude, on donne dans un premier temps un équivalent asymptotique de la première valeur propre. La majoration s'obtient par une construction de fonctions tests appropriées tandis que la minoration s'obtient par une méthode de localisation quantique. Ce dernier aspect est délicat car il s'agit de gérer la transition entre des modèles ayant des homogénéités différentes. Dans un second temps, on examine les propriétés de localisation des premières fonctions propres, via des estimées d'Agmon semi-classiques. Ceci permet d'obtenir un développement asymptotique complet des premières valeurs propres, à n'importe quel ordre. Dans le cas d'une annulation quadratique, la thèse est complétée par une étude de l'opérateur modèle pour lequel le lieu d'annulation est une union de deux droites sécantes faisant un angle non nul. Dans la limite petit angle, la structure du spectre est gouvernée un symbole opérateur à deux paramètres. On établit différentes propriétés de ce symbole opérateur et de la fonction de bande associée. Des simulations numériques basées sur la librairie éléments finis Mélina++ ont guidé l'analyse et illustrent les résultats obtenus. Les difficultés numériques - dues aux fortes oscillations de la phase dans l'expression des fonctions propres - sont gérées grâce à une interpolation polynomiale de haut degré.
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Thèse
Mathématiques [math]. Université de Rennes 1, 2016. Français
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Contributeur : Jean-Philippe Miqueu <>
Soumis le : dimanche 2 octobre 2016 - 17:39:12
Dernière modification le : vendredi 16 novembre 2018 - 01:23:26
Document(s) archivé(s) le : mardi 3 janvier 2017 - 13:24:53

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Jean-Philippe Miqueu. Étude des états fondamentaux du Laplacien magnétique avec annulation locale du champ. Mathématiques [math]. Université de Rennes 1, 2016. Français. 〈tel-01374935〉

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