Reduced basis method applied to large non-linear multi-physics problems. Application to high field magnets design.
Bases réduites pour des problèmes multi-physiques non linéaires de grand taille. Application au design d’aimants à haut champ.
Résumé
Perfectly characterized since more than 100 years, the magnetic field is present throughout our environment. Besides the numerous possibilities it opens, it constitutes a powerfull tool for researchers especially to probe and determine the properties of the matter. This kind of applications requires nevertheless magnetic fields of high intensity, namely higher than the one achievable by superconducting magnets. The "Laboratoire National des Champs Magnétiques Intenses" (LNCMI) develops water cooled resistive magnets providing such magnetic field to scientists. The design of these magnets represents a challenge in terms of design and materials. The numerical simulation proves essential to achieve such an optimization process. This thesis fits into a research collaboration between the Institut de Recherche Mathématique Avancée (IRMA) and the LNCMI whose goal is the development of a software toolchain for high field magnets modeling. Its primary objective resides in the development of a range of non-linear coupled models taking into account the whole involved physics, except the hydraulic related with the magnet cooling. Based on the finite element method, the resulting multi-physics model is implemented through the Feel++ library. The core ingredients necessary to implement this model are detailled together with its verification and its validation from experimental results when available. Designed for many query context, the reduced basis method applied to the multi-physics model aims to circumvent the complexity of the considered problem. The efficiency it offers especially allows to move towards parametric studies and sensitivity analysis in various concrete applications. Nevertheless, the necessary precomputations hide an important computational cost due to the non-linearity and the non-affine parametrization of the model. In order to reduce the latter, the Simultaneous Empirical interpolation and Reduced basis method is introduced through this thesis.
Le laboratoire national des champs magnétiques intenses (LNCMI) est un des Très Grand Equipement du CNRS. Il met à la disposition de la communauté scientifique internationale des champs magnétiques intenses plus élevés que ceux produits en utilisant des aimants supraconducteurs seuls. Les champs magnétiques intenses sont utilisés par les chercheurs comme un moyen d'exploration et de contrôle de l'état de la matière. Les recherches effectuées grâce à ces aimants couvrent un large spectre allant de la physique du solide (études de semi-conducteurs, supraconducteur, métaux) à la (bio)chimie (étude de la structure de composés complexes par le biais notamment des techniques de RMN). A ce jour, 36 Teslas -- dans un diamètre de 34mm -- sont disponibles au LNCMI.
Pour garder son rang dans la compétition entre les différentes infrastructures mondiales pour le record de champ magnétique, le LNCMI doit sans cesse améliorer la capacité de ses aimants. Cependant, le dévelopement d’aimants capables de générer des champs magnétiques de plus en plus intenses représente un challenge en termes de matériaux et de design. La simulation numérique s’avère être un élément essentiel dans le procédé d’optimisation.
Basé sur une collaboration entre l’université de Strasbourg et le LNCMI, le projet HiFiMagnet vise à mettre en place un outil complet pour la modélisation des aimants à haut champ. Ma thèse s’inscrit dans le cadre de ce projet, avec comme objectif principal le développement d’une gamme de modèles dédiés. Leur couplage doit former un modèle multi-physiques 3D qui puisse être (i) générique pour être facilement applicable aux différents design, (ii) efficace au vu de la complexité des géométries et (iii) fiable compte tenu des incertitudes sur les données d’entrée.
Nous avons introduit à travers cette thèse un ensemble d’outils dédiés à la modélisation des aimants à haut champ. Ces développements sont basés sur la méthode éléments finis et son implémentation dans la librairie Feel++ (Finite Element Embedded Language in C++).
Nous proposons un modèle multi-physiques non-linéaire 3D couplant un modèle électro-thermique, un modèle de magnétostatique et un modèle d’élasticité linéaire. Chacun d’eux est vérifié à travers des études de convergence, et validé par comparaison avec des mesures expérimentales lorsque c’est possible. Les équations de Maxwell à la base du modèle de magnétostatique impliquent l’utilisation d’éléments finis spécifiques. L’implémentation des éléments Hdiv-conforme de Raviart-Thomas et Hcurl-conforme de Nédélec dans Feel++ est une contribution de la thèse. Le champ magnétique produit par les aimants peut également être calculé d’après la loi de Biot & Savart pour laquelle nous proposons un algorithme parallèle original.
Au vu de la taille des problèmes à résoudre, le coût calcul peut être un frein pour la réalisation d’études paramétriques ou la quantification d’incertitude. Dans ce contexte, nous proposons l’application de méthodes de réduction de modèles, et plus spécifiquement la méthode des bases réduites. Dans la thèse, nous illustrons les performances de cette méthode appliquée à notre modèle électro-thermique -- non linéaire et non affine en paramètres -- sur des problèmes de grande taille (géométries réelles d’aimants).
Les pré-calculs associés restent néanmoins coûteux, du fait de la non-linéarité et de la dépendance non affine. L’algorithme SER – Simultaneous EIM and RB – est un apport original de cette thèse, dédié à ce type d’équations. Cette méthode permet un gain de temps considérable, tout en conservant une approximation bases réduites de qualité. Plusieurs variantes pour SER sont également proposées et testées.
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