Fast methods for solving banded Toeplitz systems

Sur les méthodes rapides de résolution de systèmes de Toeplitz bandes

Marwa Dridi (1)

1 LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville

This thesis aims to design new fast algorithms for numerical computation via the Toeplitz matrices. First, we introduced a fast algorithm to compute the inverse of a triangular Toeplitz matrix with real and/or complex numbers based on polynomial interpolation techniques. This algorithm requires only two FFT (2n) is clearly effective compared to predecessors. A numerical accuracy and error analysis is also considered. Numerical examples are given to illustrate the effectiveness of our method. In addition, we introduced a fast algorithm for solving a linear banded Toeplitz system. This new approach is based on extending the given matrix with several rows on the top and several columns on the right and to assign zeros and some nonzero constants in each of these rows and columns in such a way that the augmented matrix has a lower triangular Toeplitz structure. Stability of the algorithm is discussed and its performance is showed by numerical experiments. This is essential to connect our algorithms to applications such as image restoration applications, a key area in applied mathematics.

Cette thèse vise à la conception de nouveaux algorithmes rapides en calcul numérique via les matrices de Toeplitz. Tout d'abord, nous avons introduit un algorithme rapide sur le calcul de l'inverse d'une matrice triangulaire de Toeplitz en se basant sur des notions d'interpolation polynomiale. Cet algorithme nécessitant uniquement deux FFT(2n) est manifestement efficace par rapport à ses prédécésseurs. ensuite, nous avons introduit un algorithme rapide pour la résolution d'un système linéaire de Toeplitz bande. Cette approche est basée sur l'extension de la matrice donnée par plusieurs lignes en dessus, de plusieurs colonnes à droite et d'attribuer des zéros et des constantes non nulles dans chacune de ces lignes et de ces colonnes de telle façon que la matrice augmentée à la structure d'une matrice triangulaire inférieure de Toeplitz. La stabilité de l'algorithme a été discutée et son efficacité a été aussi justifiée. Finalement, nous avons abordé la résolution d'un système de Toeplitz bandes par blocs bandes de Toeplitz. Ceci étant primordial pour établir la connexion de nos algorithmes à des applications en restauration d'images, un domaine phare en mathématiques appliquées.

Mots clés: Toeplitz matrices; Mower triangular Toeplitz matrices; Banded matrices; Fast Fourrier Transformation (FFT); Trigonometric polynomial interpolation; Error study; Numerical stability; Polynomial factorization; Cyclic reduction; Image restauration

Mots clés: Matrices de Toeplitz; Matrices bandes; Matrice triangulaire inférieure; Interpolation polynomiale trigonométrique; Transformation de fourrier rapide (FFT); Étude d'erreur; Stabilité numérique; Factorisation polynomiale; Réduction cyclique; Restauration d'images

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Marwa Dridi. Sur les méthodes rapides de résolution de systèmes de Toeplitz bandes. Mathématiques générales [math.GM]. Université du Littoral Côte d'Opale; École nationale d'ingénieurs de Tunis (Tunisie), 2016. Français. ⟨NNT : 2016DUNK0402⟩. ⟨tel-01340838⟩