Multivariate moment problems : applications of the reconstruction of linear forms on the polynomial ring

Mathieu Collowald 1
1 GALAAD2 - Géométrie , Algèbre, Algorithmes
CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée
Résumé : Cette thèse porte sur la reconstruction de formes linéaires sur l'anneau des polynômes dans le cas multivarié et ses applications. Nous proposons des outils théoriques et algorithmiques permettant de résoudre des problèmes liés aux moments : la reconstruction de polytopes convexes à partir de leurs moments et la recherche de cubatures. L'algorithme numérique proposé pour reconstruire des polytopes utilise des méthodes numériques utilisées précédemment pour le cas des polygones, ainsi que les identités de Brion reliant moments directionnels et sommets projetés. Un polyèdre à 57 sommets - la coupe d'un diamant - est ainsi reconstruit. Pour la recherche de cubatures, nous adaptons la méthode de Prony univariée en une méthode multivariée à l'aide des opérateurs de Hankel. Un problème de complétion de matrices est aussi résolu grâce au théorème d'extension plate de Curto-Fialkow. Nous expliquons ainsi la recherche de cubatures à l'aide des matrices de moments, connue dans la littérature. La symétrie, qui est ici un élément naturel, réduit la complexité algorithmique. Nous prouvons qu'une diagonalisation par blocs des matrices concernées est alors possible. De ces blocs et à l'aide de la matrice de multiplicités d'un groupe fini, des conditions nécessaires à l'existence de cubatures sont obtenues. Pour une mesure, un degré et un nombre de nœuds donnés, notre algorithme certifie tout d'abord l'existence de cubatures et ensuite calcule ses poids et nœuds. De nouvelles cubatures ont ainsi été trouvées : soit en complétant celles connues pour une mesure et un degré donnés, soit en ajoutant des cubatures de degrés supérieurs pour une mesure donnée.
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Thèse
General Mathematics [math.GM]. Université Nice Sophia Antipolis, 2015. English. < NNT : 2015NICE4139 >
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Soumis le : jeudi 24 mars 2016 - 14:42:08
Dernière modification le : jeudi 6 juillet 2017 - 10:53:46
Document(s) archivé(s) le : samedi 25 juin 2016 - 14:12:54

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Mathieu Collowald. Multivariate moment problems : applications of the reconstruction of linear forms on the polynomial ring. General Mathematics [math.GM]. Université Nice Sophia Antipolis, 2015. English. < NNT : 2015NICE4139 >. <tel-01293281>

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