Représentations galoisiennes et groupe de Mumford-Tate associé à une variété abélienne

Résumé : Soient $K$ un corps de nombres et $A$ une variété abélienne sur $K$ dont nous notons $g$ la dimension. Pour tout premier $ell$, le module de Tate $ell$-adique de $A$ nous fournit une représentation $ell$-adique du groupe de Galois absolu de $K$, et c'est à l'image de ces représentations galoisiennes que l'on s'intéresse dans cette thèse.Pour de nombreuses classes de variétés abéliennes on possède une description de ces images à une erreur finie près : le premier but de ce travail est de quantifier explicitement cette erreur dans plusieurs cas différents. On parvient à résoudre complètement le problème pour une courbe elliptique sans multiplication complexe, ou plus généralement pour un produit de telles courbes elliptiques, et pour toute variété abélienne géométriquement simple admettant multiplication complexe. Pour d'autres classes de variétés abéliennes $A/K$ on obtient seulement une description de l'image de Galois pour tout premier $ell$ plus grand qu'une certaine borne (que l'on calcule explicitement, et qui est polynomiale en le degré de $K$ et en la hauteur de Faltings de $A$) : nous prouvons de tels résultats pour toute surface abélienne semistable et géométriquement simple et pour les variétés dites "de type $operatorname{GL}_2$''. On montre également un résultat semblable, mais un peu affaibli, pour de nombreuses variétés abéliennes de dimension impaire dont l'anneau des endomorphismes est réduit à $mathbb{Z}$.On s'intéresse ensuite à l'action de Galois sur des variétés abéliennes non simples, et on donne des conditions suffisantes pour que les représentations galoisiennes qui leur sont associées se décomposent elles-mêmes en produit. Finalement on étudie l'intersection entre les extensions cyclotomiques d'un corps de nombres $K$ et les corps engendrés par les points de torsion d'une variété abélienne sur $K$, et on établit des propriétés d'uniformité des degrés de ces intersections.
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Thèse
Théorie des nombres [math.NT]. Université Paris-Saclay, 2015. Français. < NNT : 2015SACLS196 >
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Soumis le : mardi 2 février 2016 - 10:53:08
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Davide Lombardo. Représentations galoisiennes et groupe de Mumford-Tate associé à une variété abélienne. Théorie des nombres [math.NT]. Université Paris-Saclay, 2015. Français. < NNT : 2015SACLS196 >. <tel-01266158>

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