Block-constrained compressed sensing
Echantillonnage compressé avec acquisition structurée par blocs
Résumé
This PhD. thesis is dedicated to combine compressed sensing with blocks structured acquisition. For several years, Compressed Sensing (CS) has been an appealing framework for signal and image processing applications, in order to reduce acquisition times while perfectly recovering an unknown signal $x\in \mathbb{C}^n$. However, current CS theories lead to sampling patterns, consisting in sets of isolated measurements, that can be hard to implement on real devices. In contrast, in various applications such as Magnetic Resonance Imaging, the samples should lie on a continuous trajectory due to electromagnetic constraints. Therefore, sampling patterns used in practice are very structured and they depart from typical CS sampling schemes.
Yet, with no theoretical justification by current CS theories, they lead to satisfactory reconstruction results. In this work, it is proposed to explain the gap between theoretical Compressed Sensing results and successful structured acquisition made in practice. To do so, two perspectives have been considered.
In the first part of this work, theoretical CS results are derived with blocks acquisition constraints, for the recovery of \emph{any} $s$-sparse signal and for the recovery of a vector with a given support $S$.
We show that structured acquisition can be successfully used in a CS framework, provided that the signal to reconstruct presents an additional structure in its sparsity, adapted to the sampling constraints.
In the second part of this work, we propose numerical methods to generate efficient block sampling schemes. Standard CS gives a probability distribution from which isolated measurements should be drawn. The idea is then to project this probability distribution on a set of measures supported on admissible patterns.
L'échantillonnage compressé (CS) a eu un impact fort dans les applications en traitement d'image et du signal. Cependant, les schémas d'échantillonnage proposés par le CS consistent en des mesures isolées, et sont donc souvent incompatibles avec la physique d'acquisition.
L'acquisition structurée est souvent utilisée en pratique et donne de bons résultats de reconstruction, sans trouver de justification théorique.
Dans cette thèse, il est proposé de réduire le fossé entre les théories CS actuelles et l'échantillonnage structuré, efficace en pratique. Pour ce faire, deux stratégies ont été adoptées.
Dans la première partie de ce travail, nous introduisons donc la notion de bloc de mesures, qui est un ensemble de mesures pouvant représenter une forme arbitraire dans l'espace d'acquisition (par exemple une ligne droite). Nous dérivons des résultats théoriques CS avec contraintes d'acquisition par blocs, pour la reconstruction de tout vecteur $s$-parcimonieux et pour la reconstruction d'un vecteur $x$ de support $S$ fixé. Nous proposons ainsi une nouvelle classe de matrices d'échantillonnage, compatibles avec de nombreux domaines d'applications.
Nous montrons que l'acquisition structurée peut donner de bons résultats de reconstruction théoriques, à condition que le signal à reconstruire présente une structure de parcimonie, adaptée aux contraintes d'échantillonnage.
Dans la deuxième partie de ce travail, nous proposons des méthodes numériques pour générer des schémas d'échantillonnage efficaces basés sur des blocs de mesures.
Des théories standards du CS, l'on peut déduire une distribution de probabilité selon laquelle des mesures isolées devraient être tirées. L'idée est alors de projeter cette mesure de probabilité sur l'ensemble des mesures supportées par des formes admissibles.
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