Equations diophantiennes et corps cyclotomiques

Diophantine equations and cyclotomic fields

Boris Bartolomé (1)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

This thesis examines some approaches to address Diophantine equations, specifically we focus on the connection between the Diophantine analysis and the theory of cyclotomic fields.First, we propose a quick introduction to the methods of Diophantine approximation we have used in this research work. We remind the notion of height and introduce the logarithmic gcd.Then, we address a conjecture, made by Thoralf Skolem in 1937, on an exponential Diophantine equation. For this conjecture, let K be a number field, α1 ,…, αm , λ1 ,…, λm non-zero elements in K, and S a finite set of places of K (containing all the infinite places) such that the ring of S-integersOS = OK,S = {α ∈ K : |α|v ≤ 1 pour les places v ∈/ S}contains α1 , . . . , αm , λ1 , . . . , λm α1-1 , . . . , αm-1. For each n ∈ Z, let A(n)=λ_1 α_1^n+⋯+λ_m α_m^n∈O_S. Skolem suggested [SK1] :Conjecture (exponential local-global principle). Assume that for every non zero ideal a of the ring O_S, there exists n ∈ Z such that A(n) ≡0 mod a. Then, there exists n ∈ Z such that A(n)=0.Let Γ be the multiplicative group generated by α1 ,…, αm. Then Γ is the product of a finite abelian group and a free abelian group of finite rank. We prove that the conjecture is true when the rank of Γ is one.After that, we generalize a result previously published by Abouzaid ([A]). Let F(X,Y) ∈ Q[X,Y] be an irreducible Q-polynomial. In 2008, Abouzaid [A] proved the following theorem:Theorem (Abouzaid). Assume that (0,0) is a non-singular point of the plane curve F(X,Y) = 0. Let m = degX F, n = degY F, M = max{m, n}. Let ε satisfy 0 < ε < 1. Then for any solution (α,β) ∈ Q ̅2 of F(X,Y) = 0, we have eithermax{h(α), h(β)} ≤ 56M8ε−2hp(F) + 420M10ε−2 log(4M),ormax{|h(α) − nlgcd(α, β)|,|h(β) − mlgcd(α, β)|} ≤ εmax{h(α), h(β)}++ 742M7ε−1hp(F) + 5762M9ε−1log(2m + 2n)However, he imposed the condition that (0, 0) be a non-singular point of the plane curve F(X,Y) = 0. Using a somewhat different version of Siegel’s “absolute” lemma and of Eisenstein’s lemma, we could remove the condition and prove it in full generality. We prove the following theorem:Theorem. Let F(X,Y) ∈ Q ̅[X,Y] be an absolutely irreducible polynomial satisfying F(0,0)=0. Let m=degX F, n=degY F and r = min{i+j:(∂^(i+j) F)/(∂^i X∂^j Y)(0,0)≠0}. Let ε be such that 0 < ε < 1. Then, for all (α, β) ∈ Q ̅2 such that F(α,β) = 0, we have eitherh(α) ≤ 200ε−2mn6(hp(F) + 5)or|(lgcd(α,β))/r-h(α)/n|≤1/r (εh(α)+4000ε^(-1) n^4 (h_p (F)+log⁡(mn)+1)+30n^2 m(h_p (F)+log⁡(mn) ))Then, we give an overview of the tools we have used in cyclotomic fields. We try there to develop a systematic approach to address a certain type of Diophantine equations. We discuss on cyclotomic extensions and give some basic but useful properties, on group-ring properties and on Jacobi sums.Finally, we show a very interesting application of the approach developed in the previous chapter. There, we consider the Diophantine equation(1) Xn − 1 = BZn,where B ∈ Z is understood as a parameter. Define ϕ∗(B) := ϕ(rad (B)), where rad (B) is the radical of B, and assume that (2) (n, ϕ∗(B)) = 1.For a fixed B ∈ N_(>1)we let N(B) = {n ∈ N_(>1) | ∃ k > 0 such that n|ϕ∗(B)}. If p is an odd prime, we shall denote by CF the combined condition requiring thatI The Vandiver Conjecture holds for p, so the class number h+ of the maximal real subfield of the cyclotomic field Q[ζp ] is not divisible by p.II We have ir>(p) < √p − 1, in other words, there is at most √p − 1 odd integers k < p such that the Bernoulli number Bk ≡ 0 mod p. [...]

Cette thèse examine quelques approches aux équations diophantiennes, en particulier les connexions entre l’analyse diophantienne et la théorie des corps cyclotomiques.Tout d’abord, nous proposons une introduction très sommaire et rapide aux méthodes d’analyse diophantienne que nous avons utilisées dans notre travail de recherche. Nous rappelons la notion de hauteur et présentons le PGCD logarithmique.Ensuite, nous attaquons une conjecture, formulée par Skolem en 1937, sur une équation diophantienne exponentielle. Pour cette conjecture, soit K un corps de nombres, α1 ,…, αm , λ1 ,…, λm des éléments non-nuls de K, et S un ensemble fini de places de K (qui contient toutes les places infinies), de telle sorte que l’anneau de S-entiers OS = OK,S = {α ∈ K : |α|v ≤ 1 pour les places v ∈/ S}contienne α1 , . . . , αm , λ1 , . . . , λm α1-1 , . . . , αm-1. Pour chaque n ∈ Z, soit A(n)=λ_1 α_1^n+⋯+λ_m α_m^n∈O_S. Skolem a suggéré [SK1] :Conjecture (principe local-global exponentiel). Supposons que pour chaque idéal non-nul a de l’anneau O_S, il existe n ∈ Z tel que A(n) ≡0 mod a. Alors, il existe n ∈ Z tel que A(n)=0.Soit Γ le groupe multiplicatif engendré par α1 ,…, αm. Alors Γ est le produit d’un groupe abélien fini et d’un groupe libre de rang fini. Nous démontrons que cette conjecture est vraie lorsque le rang de Γ est un.Après cela, nous généralisons un résultat précédent de Mourad Abouzaid ([A]). Soit F (X,Y) ∈ Q[X,Y] un Q-polynôme irréductible. En 2008, Mourad Abouzaid [A] a démontré le théorème suivant:Théorème (Abouzaid). Supposons que (0,0) soit un point non-singulier de la courbe plane F(X,Y) = 0. Soit m = degX F, n = degY F, M = max{m, n}. Soit ε tel que 0 < ε < 1. Alors, pour toute solution (α, β) ∈ Q ̅2 de F(X,Y) = 0, nous avons soit max{h(α), h(β)} ≤ 56M8ε−2hp(F) + 420M10ε−2 log(4M),soitmax{|h(α) − nlgcd(α, β)|,|h(β) − mlgcd(α, β)|} ≤ εmax{h(α), h(β)}++ 742M7ε−1hp(F) + 5762M9ε−1log(2m + 2n)Cependant, il a imposé la condition que (0,0) soit un point non-singulier de la courbe plane F(X,Y) = 0. En utilisant des versions quelque peu différentes du lemme “absolu” de Siegel et du lemme d’Eisenstein, nous avons pu lever la condition et démontrer le théorème de façon générale. Nous démontrons le théorème suivant:Théorème. Soit F(X,Y) ∈ Q ̅[X,Y] un polynôme absolument irréductible qui satisfasse F(0,0)=0. Soit m=degX F, n=degY F et r = min{i+j:(∂^(i+j) F)/(∂^i X∂^j Y)(0,0)≠0}. Soit ε tel que 0 < ε < 1. Alors, pour tout (α, β) ∈ Q ̅2 tel que F(α,β) = 0, nous avons soith(α) ≤ 200ε−2mn6(hp(F) + 5)soit|(lgcd(α,β))/r-h(α)/n|≤1/r (εh(α)+4000ε^(-1) n^4 (h_p (F)+log⁡(mn)+1)+30n^2 m(h_p (F)+log⁡(mn) ))Ensuite, nous donnons un aperçu des outils que nous avons utilisés dans les corps cyclotomiques. Nous tentons de développer une approche systématique pour un certain genre d’équations diophantiennes. Nous proposons quelques résultats sur les corps cyclotomiques, les anneaux de groupe et les sommes de Jacobi, qui nous seront utiles pour ensuite décrire l’approche.Finalement, nous développons une application de l’approche précédemment expliquée. Nous considèrerons l’équation diophantienne(1) Xn − 1 = BZn,où B ∈ Z est un paramètre. Définissons ϕ∗(B) := ϕ(rad (B)), où rad (B) est le radical de B, et supposons que(2) (n, ϕ∗(B)) = 1.Pour B ∈ N_(>1) fixé, soit N(B) = {n ∈ N_(>1) | ∃ k > 0 tel que n|ϕ∗(B)}. Si p est un premier impair, nous appellerons CF les conditions combinéesI La conjecture de Vandiver est vraie pour p, c’est-à-dire que le nombre de classe h+ du sous-corps réel maximal du corps cyclotomique Q[ζp ], n’est pas divisible par p.II Nous avons ir(p) < √p − 1, en d’autre mots, il y a au plus √p − 1 entiers impairs k < p tels que le nombre de Bernouilli Bk ≡ 0 mod p. [...]

Mots clés: Diophantine equations; Cyclotomic fields; Nagell-Ljunggren equation; Skolem; Abouzaid; Exponential Diophantine Equation; Baker’s Inequality; Subspace Theorem

Mots clés: Equations diophantiennes; Corps cyclotomiques; Équations de Nagell-Ljunggren; Skolem; Abouzaid; Équations diophantiennes exponentielles; Inégalité de Baker; Théorème du sous-espace

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Boris Bartolomé. Equations diophantiennes et corps cyclotomiques. Number Theory [math.NT]. Université de Bordeaux; Georg-August-Universität (Göttingen, Allemagne), 2015. English. ⟨NNT : 2015BORD0104⟩. ⟨tel-01247743⟩