Descent dynamical systems and algorithms for tame optimization and multi-objective problems.

Résumé : Dans une première partie, nous nous intéressons aux systèmes dynamiques gradients gouvernés par des fonctions non lisses, mais aussi non convexes, satisfaisant l'inégalité de Kurdyka-Lojasiewicz. Après avoir obtenu quelques résultats préliminaires pour la dynamique de la plus grande pente continue, nous étudions un algorithme de descente général. Nous prouvons, sous une hypothèse de compacité, que tout suite générée par ce schéma général converge vers un point critique de la fonction à minimiser. Nous obtenons aussi de nouveaux résultats sur la vitesse de convergence, tant pour les valeurs que pour les itérés. Ce schéma général couvre en particulier des versions parallélisées de la méthode forward-backward, autorisant une métrique variable et des erreurs relatives. Cela nous permet par exemple de proposer une version non convexe non lisse de l'algorithme Levenberg-Marquardt. Enfin, nous proposons quelques applications de ces algorithmes aux problèmes de faisabilité, et aux problèmes inverses parcimonieux. Dans une seconde partie, cette thèse développe une dynamique de descente associée à des problèmes d'optimisation vectoriels sous contrainte. Pour cela, nous adaptons la dynamique de la plus grande pente usuelle aux fonctions à valeurs dans un espace ordonné par un cône convexe fermé d'intérieur non vide. Cette dynamique peut être vue comme l'analogue continu de nombreux algorithmes développés ces dernières années. Nous avons un intérêt particulier pour les problèmes de décision multi-objectifs, pour lesquels cette dynamique de descente fait décroitre toutes les fonctions objectif au cours du temps. Nous prouvons l'existence de trajectoires pour cette dynamique continue, ainsi que leur convergence vers des points faiblement efficients. Finalement, nous explorons une nouvelle dynamique inertielle pour les problèmes multi-objectif, avec l'ambition de développer des méthodes rapides convergeant vers des équilibres de Pareto.
Type de document :
Thèse
Optimization and Control [math.OC]. Université de Montpellier; Universidad Tecnica Federico Santa Maria, 2015. English
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Contributeur : Guillaume Garrigos <>
Soumis le : vendredi 18 décembre 2015 - 12:54:08
Dernière modification le : lundi 23 octobre 2017 - 15:58:01
Document(s) archivé(s) le : samedi 19 mars 2016 - 11:00:18

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Guillaume Garrigos. Descent dynamical systems and algorithms for tame optimization and multi-objective problems.. Optimization and Control [math.OC]. Université de Montpellier; Universidad Tecnica Federico Santa Maria, 2015. English. 〈tel-01245406〉

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