Geometric Modeling by Constraints: solvers based on interval arithmetic
Modélisation Géométrique par Contraintes : Solveurs basés sur l’arithmétique des intervalles
Résumé
Nowadays many applications of computer graphics and geometric require resolution
nonlinear systems.
The calculation of the synthesized images by ray tracing requires the computation of the intersection points between rays (half-lines) and surfaces defined by one or more algebraic equations.
Geometric modeling, and Computer Aided Design and Manufacturing (CAD/CAM) need
calculating the points of intersection between such surfaces. This yields systems of algebraic equations of small sizes. All geometric modelers used nowadays provide the possibility
to model geometric objects by a set of geometric constraints.
The resolution of these geometric constraints requires the resolution of non linear algebraic systems. The sub-irreducible systems can be large (over ten unknowns and equations) and are solved by numerical methods such the iteration of Newton-Raphson, homotopy (or continuation), methods of Newton per interval and solvers using Bernstein bases or other geometric bases.
Bernstein bases allow calculating good estimates of polynomials values over a grid and solving polynomial systems encountered in imaging, geometric modeling, and geometric constraints solving.
This thesis presents two types of solvers. The first is based on the classic Bernstein bases
and limited to small systems with 6 or 7 unknown at most, as it appears in image synthesis, by
for example ray tracing on parametric surfaces.
The second is new, avoids this limitation by defining the Bernstein polytope and using the
linear programming. This second type of solvers is usable on arbitrary sized systems.
Aujourd’hui plusieurs applications de l’informatique graphique ou géométrique nécessitent la résolution de
systèmes non linéaires.
Le calcul des images de synthèse par lancer de rayons nécessite le calcul des points d’intersection entre des
rayons (des demi-droites) et des surfaces définies par une ou plusieurs équations algébriques.
La modélisation géométrique, et la Conception et Fabrication Assistées par Ordinateur (CFAO) ont besoin
de calculer les points d’intersection entre de telles surfaces. Il en résulte des systèmes d’équations algébriques
de petites tailles. Enfin, tous les modeleurs géométriques utilisés en CFAO fournissent aujourd’hui la possibilité
de modéliser des objets géométriques, ou de dimensionner des pièces, par un ensemble de contraintes
géométriques.
La résolution de ces contraintes géométriques nécessite la résolution de systèmes d’équations algébriques non
linéaires. Les sous systèmes irréductibles peuvent être de grande taille (plus d’une dizaine d’inconnues
et d’équations) et sont résolus par des méthodes numériques : citons l’itération de Newton-Raphson,
l’homotopie (ou continuation), les méthodes de Newton par intervalles, et les solveurs utilisant les bases
tensorielles de Bernstein ou d’autres bases géométriques.
Les bases tensorielles de Bernstein permettent de calculer de bons encadrements des valeurs des polynômes
sur des pavés, et de résoudre les systèmes polynomiaux rencontrés en synthèse d’images, en modélisation
géométrique, et en résolution de contraintes géométriques.
Cette thèse présente deux types de solveurs. Le premier est classique fondé sur les bases de Bernstein
et limité aux petits systèmes de 6 ou 7 inconnues au plus, comme il apparaît en synthèse d’images, par
exemple pour le lancer de rayons sur des surfaces paramétriques.
Le second est nouveau, il évite cette limitation en définissant le polytope de Bernstein et en recourant à la
programmation linéaire. Ce deuxième type de solveurs est utilisable sur des systèmes de taille arbitraire.
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