A parametrical approach for fuzzy linear regression - Interval based formalization
Une approche paramétrique de la régression linéaire floue - Formalisation par intervalles
Résumé
System identification is a term gathering tools that identify mathematical models from observations. Within this framework, regression techniques are frequently used. This Ph. D. thesis deals with the study of parametrical linear regression in an imprecise context. So, measurements and model parameters are imprecise and represented using fuzzy set theory, while inputs are crisp numbers.
Existing fuzzy regression techniques present two main limits. On the one hand, the imprecision of identified models is too important, mainly due to the link between imprecision variation and input sign. On the other hand, inclusion is not guaranteed even when a triangular fuzzy model, which should include observations, is identified. In this context, several improvements are introduced and illustrated. Inclusion is guaranteed by the identification of trapezoidal fuzzy models. By applying a shift term to inputs, the model output imprecision becomes independent of input sign, while model linear structure is preserved. Lastly, an optimization criterion which represents the global fuzziness of the model on its definition domain is introduced. It is then possible to improve the precision of the identified model as well as its representativeness. All these concepts are extended to piecewise and multi-inputs linear model identification.
The potential of the proposed method is tested on realistic data sets, concerning the identification of polynomial models with appropriate order and multi-linear models. By identifying dynamical models from variations of a market index, problems related to fuzzy regressive models with imprecise inputs are also introduced
L'identification de systèmes est un terme regroupant l’ensemble des techniques permettant l'identification de modèles mathématiques à l'aide d'observations. Dans ce cadre, les techniques régressives sont couramment utilisées. Cette thèse présente une étude de la régression paramétrique linéaire en environnement imprécis. Les mesures et les paramètres du modèle sont alors considérés comme imprécis, et modélisés à l'aide de la théorie des ensembles flous, les entrées étant précises.
Les techniques de régression floues existantes présentent deux limites principales. D'une part, l'imprécision des modèles obtenus est trop importante, du fait notamment que sa variation est imposée par le signe de l'entrée. D'autre part, l'inclusion n'est pas respectée lors de la recherche d'un modèle flou triangulaire devant englober les observations. Dans ce contexte, différentes améliorations sont proposées et illustrées. L'inclusion est obtenue en identifiant un modèle flou trapézoïdal. L'ajout d'un terme de décalage des entrées permet de rendre l'imprécision de la
sortie du modèle indépendante du signe de l'entrée, tout en conservant la linéarité de la structure du modèle. Enfin, un critère d'identification représentant l'imprécision globale du modèle sur son domaine de définition est introduit. Il est alors possible d'identifier un modèle dont la précision et la représentativité sont améliorées. Ces différents concepts sont étendus à l'identification de modèles linéaires par morceaux et
multi-entrées.
Le potentiel de la méthode proposée est testé sur des jeux de données réalistes, concernant l'identification de modèles polynomiaux d'ordre adéquat et de modèles multilinéaires. L'identification de modèles dynamiques sur les fluctuations d'un indice boursier permet également d'introduire les problématiques liées aux modèles régressifs flous à entrées imprécises.
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