Dynamical aspects of a moving front model of mean-field type
Aspects dynamiques d'un modèle de propagation de front du type champ moyen
Résumé
We focus on the discrete-time stochastic model studied by E. Brunet and B. Derrida in 2004: a fixed number $N$ of particles evolve on the real line according to a branching/selection mechanism. The particles remain grouped and move like a travelling-front driven by a random noise. Besides its the mathematical interest, moving fronts describe, for example, the evolution of systems having two different species $X$ and $Y$ of particles, reacting according to the irreversible auto-catalytic rule $X+Y \to 2X$. The model here is of mean-field type and the particles can also be interpreted as the last passage time in directed percolation on $\{1, \ldots, N\}$. It has been proved by F. Comets, J. Quastel and A. Ram\'irez in 2013 that the front moves globally at a deterministic \emph{speed} and that fluctuation occur in the diffusive scale $\sqrt{t}$. In this thesis, we compute the asymptotic speed as $N \to \infty$ for a large class of random disorders. We prove that the finite-size correction to the \emph{speed} satisfies \emph{universal features} depending on the upper-tail probabilities. For a certain class of noise, the techniques we have developed also allow to compute the asymptotic diffusion constant.
From a different perspective, one can also interpret the model as the dynamics of a constant size population, the positions being the fitnesses of the individuals. In this case, we focus on how individuals are related and how many generation one has to go back in time in order to find a common ancestor. For a specific choice of disorder, we show that the average coalescence times scale like $\ln N$ and that the limit genealogical trees are governed by the Bolthausen-Sznitman coalescent, which validates the physics predictions for this class of models.
On \'etudie un mod\`ele stochastique en temps discret introduit par E. Brunet et B. Derrida en 2004 : un nombre fixe $N$ de particules \'evolue sur la droite r\'eelle selon un m\'ecanisme de mutation, branchement et s\'election. Les particules restent group\'ees et se d\'eplacent comme un front soumis \`a un bruit al\'eatoire. Au-del\`a de leur int\'er\^et math\'ematique, ces types de front d\'ecrivent, par exemple, l'\'evolution d'un syst\`eme ayant deux diff\'erents types de particules $X$ et $Y$, r\'eagissant selon une r\`egle d'auto catalyse irr\'eversible $X+Y \to 2X$. Le mod\`ele \'etudi\'e est du type champ moyen et les particules peuvent \^etre interpr\'et\'ees comme la percolation de dernier passage sur le graphe $\{1, \ldots, N\}$. Il a \'et\'e prouv\'e par F. Comets, J. Quastel et A. Ramirez en 2013 que le front \'evolue globalement \`a une vitesse determin\'ee et que les perturbations apparaissent dans une \'echelle de temps $\sqrt{t}$. Dans cette th\`ese, on calcule la vitesse asymptotique quand $N \to \infty$ pour une large classe de bruits al\'eatoires. On prouve ainsi que le premier terme dans le d\'eveloppement limit\'e de la vitesse satisfait des propri\'et\'es universelles ne dependant que de la queue droite de la probabilit\'e de $\xi$.
On peut \'egalement interpr\'eter le mod\`ele comme \'etant la dynamique d'une population de taille constante, les positions repr\'esentant alors les caract\'eristiques g\'en\'etiques de chaque individu. Dans ce cas, on s'int\'eresse \`a la mani\`ere dont les individus sont reli\'es entre eux et combien de g\'en\'erations doit-on remonter dans le temps afin de leur trouver un anc\^etre commun. Pour une loi particuli\`ere du bruit, on montre que l'\'echelle de temps de coalescence moyenne est donn\'ee par $\ln N$ et que l'arbre g\'en\'ealogique du mod\`ele converge en loi vers le processus de coalescence de Bolthausen-Sznitman, ce qui confirme les pr\'edictions physiques pour cette classe de mod\`eles.
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