Dynamical aspects of a moving front model of mean-field type

Résumé : On \'etudie un mod\`ele stochastique en temps discret introduit par E. Brunet et B. Derrida en 2004 : un nombre fixe $N$ de particules \'evolue sur la droite r\'eelle selon un m\'ecanisme de mutation, branchement et s\'election. Les particules restent group\'ees et se d\'eplacent comme un front soumis \`a un bruit al\'eatoire. Au-del\`a de leur int\'er\^et math\'ematique, ces types de front d\'ecrivent, par exemple, l'\'evolution d'un syst\`eme ayant deux diff\'erents types de particules $X$ et $Y$, r\'eagissant selon une r\`egle d'auto catalyse irr\'eversible $X+Y \to 2X$. Le mod\`ele \'etudi\'e est du type champ moyen et les particules peuvent \^etre interpr\'et\'ees comme la percolation de dernier passage sur le graphe $\{1, \ldots, N\}$. Il a \'et\'e prouv\'e par F. Comets, J. Quastel et A. Ramirez en 2013 que le front \'evolue globalement \`a une vitesse determin\'ee et que les perturbations apparaissent dans une \'echelle de temps $\sqrt{t}$. Dans cette th\`ese, on calcule la vitesse asymptotique quand $N \to \infty$ pour une large classe de bruits al\'eatoires. On prouve ainsi que le premier terme dans le d\'eveloppement limit\'e de la vitesse satisfait des propri\'et\'es universelles ne dependant que de la queue droite de la probabilit\'e de $\xi$. On peut \'egalement interpr\'eter le mod\`ele comme \'etant la dynamique d'une population de taille constante, les positions repr\'esentant alors les caract\'eristiques g\'en\'etiques de chaque individu. Dans ce cas, on s'int\'eresse \`a la mani\`ere dont les individus sont reli\'es entre eux et combien de g\'en\'erations doit-on remonter dans le temps afin de leur trouver un anc\^etre commun. Pour une loi particuli\`ere du bruit, on montre que l'\'echelle de temps de coalescence moyenne est donn\'ee par $\ln N$ et que l'arbre g\'en\'ealogique du mod\`ele converge en loi vers le processus de coalescence de Bolthausen-Sznitman, ce qui confirme les pr\'edictions physiques pour cette classe de mod\`eles.
Type de document :
Thèse
Mathematics [math]. Paris 7, 2015. English
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Contributeur : Aser Cortines <>
Soumis le : mercredi 7 octobre 2015 - 22:48:56
Dernière modification le : mercredi 12 octobre 2016 - 01:22:15
Document(s) archivé(s) le : vendredi 8 janvier 2016 - 10:56:37

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Aser Cortines. Dynamical aspects of a moving front model of mean-field type. Mathematics [math]. Paris 7, 2015. English. <tel-01213197>

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