Random and periodic operators in dimension 1: Decorrelation estimates in spectral statistics and resonances
Opérateurs aléatoires et périodiques: Estimées de décorrélations et Résonances
Résumé
This thesis consists of two parts: the random and periodic operators in dimension $1$.\\
In the first part, we prove the decorrelation estimate for a 1D lattice Hamiltonian with off-diagonal disorder. Consequently, we deduce
the asymptotic independence of the local level statistics near distinct positive energies in the localized regime. Finally, we revisit a known result on the decorrelation estimate for the $1$D discrete Anderson model.\\
The second part of my thesis addresses questions on resonances for a $1$D Schr\"{o}dinger operators with truncated periodic potential.
Precisely, we consider the half-line operator $H^{\mathbb N}=-\Delta +V$ and $H^{\mathbb N}_{L}= -\Delta + V\mathbbm{1}_{[0, L]}$
acting on $\ell^{2}(\mathbb N)$ with Dirichlet boundary condition at $0$. We describe the resonances of $H^{\mathbb N}_{L}$ near the boundary of the essential spectrum of $H^{\mathbb N}$ as $L \rightarrow +\infty$, hence complete the results introduced in \cite{klopp13} on the resonances of $H^{\mathbb N}_{L}$.\\
Cette thèse comporte deux parties qui correspondent à deux domaines distincts: les opérateurs aléatoires et les opérateurs périodiques en dimension 1.
Dans la première partie, nous prouvons une estimée de décorrélation pour un opérateur aléatoire avec désordre hors diagonal en dimension $1$. En se servant de cette estimée, nous déduisons l'indépendance asymptotique des statistiques locales des valeurs propres près d'énergies distinctes positives dans le régime localisé. Finalement, nous donnons une démonstration alternative de l'estimée de décorrélation pour le modèle d'Anderson discret unidimensionnel.
La deuxième partie de cette thèse est dédiée à un problème de résonances pour l'opérateur de Schr\"{o}dinger discret en dimension 1 avec potentiel périodique tronqué. Précisément, nous considérons l'opérateur sur la demi droite $H^{\mathbb N}=-\Delta +V$ et l'opérateur $H^{\mathbb N}_{L}= -\Delta + V\mathbbm{1}_{[0, L]}$ agissant sur $\ell^{2}(\mathbb N)$ avec la condition au bord de Dirichet en $0$ et $L\in \mathbb N$ large. Nous étudions les résonances de $H^{\mathbb N}_{L}$ qui sont près du bord du spectre essentiel de $H^{\mathbb N}$ dans la limite $L \rightarrow +\infty$, donc compléter les résultats introduits par mon directeur de thèse sur les résonances de l'opérateur $H^{\mathbb N}_{L}$.
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