Stable Bernstein center and Aubert-Baum-Plymen-Solleveld conjecture

Centre de Bernstein stable et conjecture d'Aubert-Baum-Plymen-Solleveld

Ahmed Moussaoui (1)

1 IMJ-PRG (UMR_7586) - Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche

This thesis focus on links between the local Langlands correspondence and the Bernstein center. A framework was introduced by Vogan and developed by Haines : the stable Bernstein center. We start by extending the generalized Springer correspondence to the orthogonal group (which is disconnected). Then we state a conjecture about (complete) Langlands parameters of supercuspidal representations of a p-adic split group and we prove it for classical and linear groups thanks to the work of M\oe glin, Henniart and Harris and Taylor. Based on the work of Lusztig on generalized Springer correspondence, we define a cuspidal support map for complete Langlands parameters. Referring to some results of Heiermann, we get a Langlands parametrization of the smooth dual of classical groups. Moreover, we state "Galois" version of the Aubert-Baum-Plymen-Solleveld conjecture and we prove that with the previous results. It gives a new proof of the validity of the ABPS conjecture for classical groups and it provides explicit relations with Langlands correspondence. As a corrolary, we obtain the compatibility of the Langlands correspondence with parabolic induction for classical groups.

Cette thèse s'intéresse aux liens entre la correspondance de Langlands locale et le centre de Bernstein. Pour cela, un cadre a été introduit par Vogan puis développé par Haines : le centre de Bernstein stable. Nous commençons par étendre la correspondance de Springer généralisée au groupe (non connexe) orthogonal. Ensuite, nous énonçons une conjecture concernant les paramètres de Langlands (complets) des représentations supercuspidales d'un groupe p-adique déployé que nous vérifions pour les groupes classiques et le groupe linéaire à l'aide des travaux de Moeglin, Henniart et Harris et Taylor. Nous définissons à l'aide des travaux de Lusztig sur la correspondance de Springer généralisée une application de support cuspidal pour les paramètres de Langlands complets. Avec certains résultats d'Heiermann, nous obtenons un paramétrage de Langlands des représentations irréductibles d'un groupe classique. Par ailleurs, nous énonçons une conjecture « galoisienne » analogue à la conjecture d'Aubert-Baum-Plymen-Solleveld, que nous prouvons à l'aide des résultats précédents. Ceci est une nouvelle preuve de la validité de la conjecture ABPS pour les groupes classiques et explicite ses relations avec la correspondance de Langlands. En conséquence, on obtient la compatibilité de la correspondance de Langlands avec l'induction parabolique pour les groupes classiques.

Mots clés: Langlands correspondence; Berstein center

Mots clés: Conjecture d'Aubert-Baum-Plymen-Solleveld; Centre de Bernstein stable; Correspondance de Langlands; Correspondance de Springer généralisée

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Ahmed Moussaoui. Centre de Bernstein stable et conjecture d'Aubert-Baum-Plymen-Solleveld. Mathématiques générales [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2015. Français. ⟨NNT : 2015PA066108⟩. ⟨tel-01186086⟩