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Stable-driven SDEs: a Parametrix Approach to Heat Kernel Estimates with an Application to Stochastic Algorithms

Résumé : Dans un premier temps, nous étudions une classe d’équations différentielles stochastiques dirigées par des processus stables (possiblement tempérés), sous des hypothèses de régularité Hölder sur les coefficients. Nous prouvons que le problème de martingale associé est bien posé, établissant ainsi l’unicité faible pour l’EDS. Nous donnons aussi un encadrement de la densité de la solution par celle d’un processus stable (possiblement tempéré). Notre approche est basée sur la méthode parametrix. Dans un second temps, nous considérons une équation différentielle stochastique dégénérée dirigée par un processus stable dont les coefficients satisfont une sorte d’hypothèse de Hörmander faible. Sous de relativement faibles hypothèses de régularité et des restrictions dimensionnelles, nous prouvons que le problème de martingale est bien posé. Nous donnons également un majorant de la densité reflétant le caractère multi-échelle du processus sous-jacent dans le cas scalaire du stable tempéré. Enfin, nous obtenons un développement pour l’erreur de discrétisation de la cible d’un al- gorithme stochastique à la suite de [Fri13]. Ceci nous permet de mettre en place une extrapolation de Richardson-Romberg dans le cadre des algorithmes stochastiques, déjà obtenue pour les estimateurs de Monte Carlo linéaires (introduite par Talay et Tubaro [TT90] et pleinement étudiée dans Pagès [Pag07]). Nous appliquons nos résultats à l’estimation du quantile de la solution d’une EDS dirigée par un processus stable. Les résultats numériques produits à partir de notre méthode montrent une réduction significative de la complexité.
Document type :
Theses
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01180708
Contributor : Lorick Huang <>
Submitted on : Tuesday, July 28, 2015 - 11:04:52 AM
Last modification on : Friday, March 27, 2020 - 3:50:01 AM
Document(s) archivé(s) le : Thursday, October 29, 2015 - 10:13:21 AM

Identifiers

  • HAL Id : tel-01180708, version 1

Citation

Lorick Huang. Stable-driven SDEs: a Parametrix Approach to Heat Kernel Estimates with an Application to Stochastic Algorithms. Mathematics [math]. Univeristé Paris Diderot Paris 7, 2015. English. ⟨tel-01180708⟩

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