´. R. Esuméesum´esumé and . Perspectives, 10, p.207

. Dans-le-paragraphe, u il est possible d'avoir un phénomène d'autointeraction entre di?érentes phases. Sous l'hypothèse de finitude du nombre de phases générées par rebonds, on donne aussi des conditions sous lesquels le développement BKW est une bonne approximation de la solution exacte duprobì eme (6.95) (sous l'hypothèse selon laquelle leprobì eme est fortement bien posé (6.95)).La détermination du développement BKW passe alors une certaine condition d'inversibilité

A. Qu, il serait assez intéressant de travailler sur les points suivants En pratique, il semble très dicile de vérifier " ` a la main " l'hypothèse de finitude du nombre de phases générées par réflexions sur le bord, quand la taille N du système devient grande. Ainsi, si l'on veut appliquer e?ectivement le théorème 6.9.2, il semble qu'il faille ou bien en démontrer un 208 CHAPITRE 6, OPTIQUE G ´ EOMÉTRIQUEEOM´EOMÉTRIQUE ET PROBL`EME`APROBL` PROBL`EMEPROBL`EME` PROBL`EME`A COIN

E. E?et, une fréquence quelconque , rien n'assure que lorsque l'on applique le principe de génération des phases on ne tombe pas après un certain nombre de rebonds sur une fréquence de " glancing " . D'un point de vu plus semblablè a celui qui a ´ eté suivi dans ce manuscrit, il serait intéressant de voir si une nouvellé equation d'amplitude apparait pour construire les amplitudes liées aux modes de glancing. Cette nouvellé equation (si elle existe) pourrait alors nous aideràaiderà mieux comprendre la condition d'Osher

. Un-autre-sujet-d-'´-etude and . Qui-rejoint-le-but-du-précédent, serait de s'intéresser plus en profondeuràprofondeurà la condition d'inversibilité 6.9.3. On aimerait comprendre les liens qui existent entre cette condition et, d'une part, la nature dissipative des conditions de bords, d'autre part, la condition au coin d'Osher. Deux conjectures que l'on pense raisonnables sont les suivantes : ? Si les conditions de bords sont strictement dissipatives alors la condition d'inversibilité de l'hypothèse 6.9.3 est automatiquement satisfaite. ? La condition d'inversibilité de l'hypothèse 6.9.3 est une version " micro-localisée

´. Enfin-la-boucle, . Esuméesum´esumé, and . Perspectives, serait de construire des développements BKW pour desprobì emesàemesà coin lorsque la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme dégénère sur l'une des phases du domaine Dans le cas d'une dégénérescence sur un mode elliptique, que l'on soit dans la zone elliptique ou dans la zone elliptico-hyperbolique, on ne s'attend pasàpasà une situation plus riche que dans le cas duprobì eme aux limites. Pour une dégénérescence sur une fréquence hyperbolique) qui n'est pas unélémentunélément de la boucle, il ne semble pas non plus que la situation soit plus riche dans le cas général. On peut tout de même noter que certainsprobì emesàemesà coins dont les phases obtenues par rebonds successifs (d'un même paquet d'ondes), p.209

. Un-terme-en, Toutefois, ce genre de configuration semble assez anecdotique. Enfin, dans le cas d'une dégénérescence de la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme sur une fréquence hyperbolique de la boucle, la situation doitêtredoitêtre beaucoup plus riche Une conjecture qui nous semble raisonnable est alors que le nombre de pertes de dérivées peutêtrepeutêtre arbitrairement grand sur uné echelle de temps fixe car la réflexion répétée associéè a une phase annulant le déterminant de Lopatinskii donne lieù a un nombre arbitrairement grand amplifications, On génèrerait ainsi par autointeraction des instabilités violentesàviolentesà partir d'un phénomène de stabilité faible. 210 CHAPITRE 6. OPTIQUE G ´ EOMÉTRIQUEEOM´EOMÉTRIQUE ET PROBL`EME`APROBL` PROBL`EMEPROBL`EME` PROBL`EME`A COIN

C. Bibliographieaud11 and . Audiard, On mixed initial-boundary value problems for systems that are not strictly hyperbolic, Appl. Math. Lett, vol.24, issue.5, pp.757-761, 2011.

A. Benoit, Finite speed of propagation for mixed problems in the $WR$ class, Communications on Pure and Applied Analysis, vol.13, issue.6, pp.2351-2358, 2014.
DOI : 10.3934/cpaa.2014.13.2351
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00905301

A. Benoit, Geometric optics expansions for linear hyperbolic boundary value problems and optimality of energy estimates for surface waves, Di?erential Integral Equations, vol.27, pp.5-6531, 2014.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00801952

. [. Benzoni-gavage, Stability of multi-dimensional phase transitions in a Van der Waals fluid, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol.31, issue.1-2, pp.243-263, 1998.
DOI : 10.1016/S0362-546X(96)00309-4

D. [. Benzoni-gavage and . Serre, Multidimensional hyperbolic partial di?erential equations. Oxford Mathematical Monographs, 2007.

S. Benzoni-gavage, F. Rousset, D. Serre, and K. Zumbrun, Generic types and transitions in hyperbolic initial???boundary-value problems, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, vol.132, issue.05, pp.1073-1104, 2002.
DOI : 10.1017/S030821050000202X

[. Brezis, Analyse fonctionnelle. Collection Mathématiques Appliquées pour la Ma??triseMa??trise. [Collection of Applied Mathematics for the Master's Degree], Théorie et applications. [Theory and applications], 1983.

]. A. Bt96a, D. L. Blokhin, and . Tkachev, A mixed problem for the wave equation in coordinate domains. I. Mixed problem for the wave equation in a quadrant, Vychisl. Tekhnol, vol.1, issue.1, pp.13-37, 1996.

]. A. Bt96b, D. L. Blokhin, and . Tkachev, A mixed problem for the wave equation in coordinate domains. II. Obtaining of a priori estimates protect in mixed problems of protect multidimensional wave equation, Vychisl. Tekhnol, vol.1, issue.2, pp.26-46, 1996.

J. Coulombel and O. Es, D??veloppements d???optique g??om??trique avec amplification pour des probl??mes aux limites hyperboliques lin??aires, Annales de l???institut Fourier, vol.60, issue.6, pp.2183-2233, 2010.
DOI : 10.5802/aif.2581

J. Coulombel, Stabilité multidimensionnelle d'interfaces dynamiques. Application aux transitions de phase liquide-vapeur, 2002.

J. Coulombel, Well-posedness of hyperbolic initial boundary value problems, Journal de Math??matiques Pures et Appliqu??es, vol.84, issue.6, pp.786-818, 2005.
DOI : 10.1016/j.matpur.2004.10.005

J. Coulombel, The hyperbolic region for hyperbolic boundary value problems, Osaka J. Math, vol.48, issue.2, pp.457-469, 2011.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00339526

J. Coulombel, Stability of finite di?erence schemes for hyperbolic initial boundary value problems II, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci, vol.10, issue.51, pp.37-98, 2011.

J. Chazarain and A. Piriou, IntroductionàIntroductionà la théorie deséquationsdeséquations aux dérivées partielles linéaires, 1981.

]. J. Dui11 and . Duistermaat, Fourier integral operators. Modern Birkhäuser Classics

]. K. Fri54 and . Friedrichs, Symmetric hyperbolic linear di?erential equations, Comm. Pure Appl. Math, vol.7, pp.345-392, 1954.

]. K. Fri58 and . Friedrichs, Symmetric positive linear di?erential equations, Comm. Pure Appl. Math, vol.11, pp.333-418, 1958.

H. Gustafsson, A. Kreiss, and . Sundström, Stability theory of difference approximations for mixed initial boundary value problems. II, Mathematics of Computation, vol.26, issue.119, pp.649-686, 1972.
DOI : 10.1090/S0025-5718-1972-0341888-3

]. P. Gri85 and . Grisvard, Elliptic problems in nonsmooth domains, Monographs and Studies in Mathematics, vol.24, 1985.

]. P. Gri89 and . Grisvard, Singularities in elliptic boundary value problems, Delft Progr. Rep, vol.13, issue.3, pp.349-373, 1989.

[. Gazzola and P. Secchi, Inflow-outflow problems for Euler equations in a rectangular cylinder, Nonlinear Differential Equations and Applications, vol.8, issue.2, pp.195-217, 2001.
DOI : 10.1007/PL00001445

R. Hersh, Mixed problems in several variables, J. Math. Mech, vol.12, pp.317-334, 1963.

]. M. Her12 and . Hernandez, Resonant leading term geometric optics expansions with boundary layers for quasilinear hyperbolic boundary problems. submitted, 2012.

A. Huang and R. Temam, The linear hyperbolic initial and boundary value problems in a domain with corners. Discrete Contin, Dyn. Syst. Ser. B, vol.19, issue.6, pp.1627-1665, 2014.

A. Huang and R. Temam, The Linearized 2D Inviscid Shallow Water Equations in a Rectangle: Boundary Conditions and Well-Posedness, Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol.78, issue.3, pp.1027-1063, 2014.
DOI : 10.1007/s00205-013-0702-0

A. Huang, Existence of solutions for linear hyperbolic initial-boundary value problems in a rectangle, Applicable Analysis, vol.84, issue.9, pp.1-29
DOI : 10.1016/S0024-3795(73)80001-1

]. M. Ika70 and . Ikawa, Mixed problem for the wave equation with an oblique derivative boundary condition, Osaka J. Math, vol.7, pp.495-525, 1970.

[. Joly, G. Métivier, and J. Rauch, multidimensional oscillatory waves, Duke Mathematical Journal, vol.70, issue.2, pp.373-404, 1993.
DOI : 10.1215/S0012-7094-93-07007-X

S. [. Kupka and . Osher, On the wave equation in a multi-dimensional corner, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol.15, issue.3
DOI : 10.1002/cpa.3160240304

]. Kre70 and . Kreiss, Initial boundary value problems for hyperbolic systems, Comm. Pure Appl. Math, vol.23, pp.277-298, 1970.

K. Kojima and M. Taniguchi, Mixed problem for hyperbolic equations in a domain with a corner, Funkcial. Ekvac, vol.23, issue.2, pp.171-195, 1980.

]. P. Lax57 and . Lax, Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems, Duke Mathematical Journal, vol.24, issue.4, pp.627-646, 1957.
DOI : 10.1215/S0012-7094-57-02471-7

]. V. Les07 and . Lescarret, Wave transmission in dispersive media, Math. Models Methods Appl. Sci, vol.17, issue.4, pp.485-535, 2007.

R. [. Lax and . Phillips, Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential operators, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol.14, issue.3, pp.427-455, 1960.
DOI : 10.1002/cpa.3160130307

A. Majda, The existence of multidimensional shock fronts, Memoirs of the American Mathematical Society, vol.43, issue.281, p.93, 1983.
DOI : 10.1090/memo/0281

A. Majda, The stability of multidimensional shock fronts, Memoirs of the American Mathematical Society, vol.41, issue.275, p.95, 1983.
DOI : 10.1090/memo/0275

A. Marcou, Rigorous weakly nonlinear geometric optics for surface waves, Asymptot. Anal, vol.69, issue.3-4, pp.125-174, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01004056

[. Métivier, Interaction de Deux Chocs Pour un Systeme de Deux Lois de Conservation, en Dimension Deux D'Espace, Transactions of the American Mathematical Society, vol.296, issue.2, pp.431-479, 1986.
DOI : 10.2307/2000375

]. G. Mét00 and . Métivier, The block structure condition for symmetric hyperbolic systems, Bull. London Math. Soc, vol.32, issue.6, pp.689-702, 2000.

]. G. Mét14 and . Métivier, On the l 2 well posedness of hyperbolic initial boundary value problems, 2014.

A. Majda and S. Osher, Initial-boundary value problems for hyperbolic equations with uniformly characteristic boundary, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol.6, issue.5, pp.607-675, 1975.
DOI : 10.1002/cpa.3160280504

R. D. Moyer, On the nonidentity of weak and strong extensions of di?erential operators, Proc. Amer, pp.487-488, 1968.

A. Morando and P. Secchi, REGULARITY OF WEAKLY WELL POSED HYPERBOLIC MIXED PROBLEMS WITH CHARACTERISTIC BOUNDARY, Journal of Hyperbolic Differential Equations, vol.08, issue.01, pp.37-99, 2011.
DOI : 10.1142/S021989161100238X

G. Métivier and K. Zumbrun, Hyperbolic boundary value problems for symmetric systems with variable multiplicities, Journal of Differential Equations, vol.211, issue.1, pp.61-134, 2005.
DOI : 10.1016/j.jde.2004.06.002

T. Ohkubo, Regularity of solutions to hyperbolic mixed problems with uniformly characteristic boundary, Hokkaido Mathematical Journal, vol.10, issue.1, pp.93-123, 1981.
DOI : 10.14492/hokmj/1381758116

T. Ohkubo, Well posedness for quasi-linear hyperbolic mixed problems with characteristic boundary, Hokkaido Mathematical Journal, vol.18, issue.1, pp.79-123, 1989.
DOI : 10.14492/hokmj/1381517781

S. Osher, Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners. I, Transactions of the American Mathematical Society, vol.176, pp.141-164, 1973.
DOI : 10.1090/S0002-9947-1973-0320539-5

S. Osher, An ill-posed problem for a strictly hyperbolic equation in two unknowns near a corner, Bulletin of the American Mathematical Society, vol.80, issue.4, pp.705-708, 1974.
DOI : 10.1090/S0002-9904-1974-13559-7

S. Osher, Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners. II, Transactions of the American Mathematical Society, vol.198, pp.155-175, 1974.
DOI : 10.1090/S0002-9947-1974-0352715-0

G. Peyser, On the Identity of Weak and Strong Solutions of Differential Equations with Local Boundary Conditions, American Journal of Mathematics, vol.87, issue.2, pp.267-277, 1965.
DOI : 10.2307/2373004

G. Peyser, Symmetric positive systems in corner domains, Journal of Differential Equations, vol.18, issue.1, pp.135-157, 1975.
DOI : 10.1016/0022-0396(75)90085-6

J. Rauch, L2 is a continuable initial condition for kreiss' mixed problems, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol.10, issue.3
DOI : 10.1002/cpa.3160250305

J. Rauch, Symmetric positive systems with boundary characteristic of constant multiplicity, Transactions of the American Mathematical Society, vol.291, issue.1, pp.167-187, 1985.
DOI : 10.1090/S0002-9947-1985-0797053-4

]. J. [-rau94 and . Rauch, Boundary value problems with nonuniformly characteristic boundary, J. Math. Pures Appl, vol.73, issue.94, pp.347-353, 1994.

J. Rauch, Hyperbolic partial di?erential equations and geometric optics, Graduate Studies in Mathematics, vol.133

L. Sarason, On weak and strong solutions of boundary value problems, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol.11, issue.3
DOI : 10.1002/cpa.3160150301

L. Sarason, On hyperbolic mixed problems, Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol.18, issue.4, pp.310-334, 1965.
DOI : 10.1007/BF00251670

L. Sarason, Elliptic regularization for symmetric positive systems, J. Math. Mech, vol.16, pp.807-827, 1967.

]. L. Sar70 and . Sarason, Symmetrizable systems in regions with corners and edges, J. Math. Mech, vol.19, pp.601-60770, 1969.

D. Serre, Systems of conservation laws. 1 Hyperbolicity, entropies, shock waves, Translated from the 1996 French original by I, 1999.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/ensl-01402415

D. Serre, Systems of conservation laws. 2 Geometric structures, oscillations, and initial-boundary value problems, Translated from the 1996 French original by I, 2000.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/ensl-01402415

[. Shirota, On the propagation speed of hyperbolic operator with mixed boundary conditions, J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. Ser. I, vol.22, pp.25-31, 1972.

J. [. Sarason and . Smoller, Geometrical optics and the corner problem, Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol.17, issue.59, pp.34-6975, 1974.
DOI : 10.1007/BF00279820

. [. Sablé-tougeron, Existence pour unprobì eme de l'´ elastodynamique Neumann non linéaire en dimension 2, Arch. Rational Mech. Anal, vol.101, issue.3, pp.261-292, 1988.

G. Strang, Hyperbolic initial-boundary value problems in two unknowns, Journal of Differential Equations, vol.6, issue.1, pp.161-171, 1969.
DOI : 10.1016/0022-0396(69)90124-7

]. E. Sve84 and . Svendsen, Smooth solutions of initial-value problems in regions with corners

M. Taniguchi, On the Mixed Problem for Wave Equation in a Domain with a Corner, Tokyo Journal of Mathematics, vol.09, issue.1, pp.249-259, 1978.
DOI : 10.3836/tjm/1270150985

]. M. Wil96 and . Williams, Nonlinear geometric optics for hyperbolic boundary problems, Comm. Partial Di?erential Equations, vol.21, issue.1112, pp.1829-1895, 1996.

]. M. Wil00 and . Williams, Boundary layers and glancing blow-up in nonlinear geometric optics, Ann. Sci. ´ Ecole Norm. Sup, vol.33, issue.43, pp.383-432, 2000.

]. Yos95, . K¯, and . Yosida, Functional analysis, Classics in Mathematics, 1980.