Boundary value problems, geometric optics expansions and singularities
Problèmes aux limites, optique géométrique et singularités
Résumé
We are interested in hyperbolic boundary value problems in the half space or in the quarter space. This manuscript is composed of two independant parts, the first one deals with weakly well-posed problems in the half space. By weakly well-posed we mean that the solution is not as regular as the source terms of the problem. In this framework, we show the optimality of energy estimates established in the existing literature and a finite speed of propagation result. In the second part of the manuscript, about hyperbolic boundary value problems in the quarter space, we show that the problem is strongly well-posed (in the sense that the solution is as regular as the source terms) in the particular framework of symetric with stricly dissipative boundary conditions problems. Then we give some new contributions about the strong well-posedness in the general framework. Finally, we construct rigorous geometric optics expansion of the solution of the problem in the quarter space. This expansion permits, in particular, to show that some new phenomenons such that selfinteraction phenomenons beetwen the phases, the generation of an infinite number of phases or the concentration at the corner.
On s'intérèsse aux problèmes aux limites hyperboliques posés dans le demi-espace ou dans le quart d'espace. Ce mémoire se compose de deux parties indépendantes, la première qui a trait aux problèmes dans le demi-espace concerne les problèmes faiblement bien posés au sens ou la solution est moins régulière que les données du problème. On montre alors l'optimalité des estimations d'énergie démontrées dans la littérature et un résultat de propagation à vitesse finie de l'information. Dans la seconde partie, à propos des problèmes dans le quart d'espace, on montre que le problème est fortement bien posé, au sens ou la solution est aussi régulière que les données du problème dans un cadre particulier, le cas symétrique à conditions de bord strictement dissipatives. Puis on apporte des contributions dans le cas général par rapport à la littérature. Enfin, on construit de façon rigoureuse le développement d'optique géométrique de la solution d'un problème dans le quart d'espace. Ce développement permet en particulier de mettre en évidence de nouveaux phénomènes comme par exemple, le phénomène d'autointeraction entre les phases, la génération d'un nombre infini de phases ou encore de concentration au coin.
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