Existence and stability of strong solutions in kinetic theory

Existence et stabilité de solutions fortes en théorie cinétique des gaz

Isabelle Tristani (1)

1 CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision

The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one.

Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes.

Mots clés: Kinetic theory; Boltzmann equation; Inelastic collisions; Boltzmann equation without cut-Off; Landau equation; Hard potentials; Moderately soft potentials; Fokker-Planck equation; Fractional diffusion; Trend to equilibrium; Exponential convergence; Spectral gap; Semigroup decay; Hypodissipativity

Mots clés: Théorie cinétique; Équation de Boltzmann; Collisions inélastiques; Équation de Boltzmann sans cut-Off; Équation de Landau; Potentiels durs; Potentiels faiblement mous; Équation de Fokker-Planck; Diffusion fractionnaire; Retour à l’équilibre; Convergence exponentielle; Trou spectral; Décroissance du semi-Groupe; Hypodissipativité

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Isabelle Tristani. Existence and stability of strong solutions in kinetic theory. General Mathematics [math.GM]. Université Paris Dauphine - Paris IX, 2015. English. ⟨NNT : 2015PA090013⟩. ⟨tel-01177066⟩