Numerical methods for subsurface flows: a posteriori error estimates and adaptive strategy

Méthodes numériques pour les écoulements en milieu poreux : estimations a posteriori et stratégie d'adaptation

Vincent Baron (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

This work is devoted to improving the efficiency of the numerical resolution of the Richards equation, which is a nonlinear parabolic equation used for the simulation of subsurface flows. The first part is dedicated to the derivation of a DDFV scheme, which is valid on general meshes, coupled with the BDF2 formula used for the discretization of the instationary term. Numerical tests confirm the high-order accuracy of the method, as well as its stability in a variety of configurations. In the second part, we derive a posteriori estimates using the equilibrated fluxes method. A guaranteed upper bound is achieved, involving space-time estimators. This bound relies on an equilibrated fluxes relation built from relevant approximations of the continuous fluxes, reconstructed from the approximate solution. We present how to perform such reconstructions adapted to our DDFV-BDF2 discretization. They involve a correction term specific to the DDFV scheme used, as well as a rephrasing of the variable BDF2 formula under the form of a one-step scheme. Lastly, we apply the aforementioned estimate in some numerical tests by developing an adaptive algorithm, which, on a fixed mesh, aims to equilibrate the various error sources by adapting the linearization stopping criterium and the time step. We analyze the influence of the parameters of this algorithm, and observe the number of linearization iterations and CPU time gained as compared to a classical simulation.

On cherche à améliorer l'efficacité de la résolution numérique de l'équation de Richards, qui est une équation parabolique non linéaire utilisée dans la modélisation d'écoulements souterrains. Dans une première partie, on propose une discrétisation DDFV, valable sur maillages généraux, couplée au schéma BDF2 pour la discrétisation du terme instationnaire. Des tests numériques confirment l'ordre élevé de la méthode, ainsi que sa stabilité dans différentes configurations. La deuxième partie s'articule autour des estimations a posteriori par la méthode des flux équilibrés. On obtient une borne supérieure garantie de l'erreur en norme duale, qui fait intervenir des estimateurs intégrés en espace et en temps. Cette borne repose sur une relation d'équilibrage de flux, qui nécessite en pratique de reconstruire des approximations pertinentes des flux continus à partir de la solution approchée. De telles reconstructions adaptées à la discrétisation DDFV-BDF2 sont présentées. Elles incluent un terme de correction spécifique au schéma DDFV, et une réécriture de la formule BDF2 à pas variable sous la forme d'un schéma à un pas. Enfin, on applique numériquement l'estimation précédente en proposant, à maillage fixé, un algorithme d'adaptation du critère d'arrêt des linéarisations et du pas de temps qui vise à équilibrer les différentes sources d'erreur. On analyse l'influence des paramètres de l'algorithme, et on observe le gain en termes de nombre d'itérations de linéarisation et de temps CPU par rapport à une simulation classique.

Mots clés: Richards equation; DDFV scheme; BDF2 formula; a posteriori error estimates; equilibrated fluxes; adaptive algorithm

Mots clés: équation de Richards; schéma DDFV; formule BDF2; estimations d'erreur a posteriori; flux équilibrés; algorithme adaptatif

Domaines: Mathématiques [math]; Analyse numérique [math.NA]

Vincent Baron. Méthodes numériques pour les écoulements en milieu poreux : estimations a posteriori et stratégie d'adaptation. Mathématiques [math]. LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, 2015. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01158550⟩