Composition laws of branched manifold for description of chaotic attractors bounded by high genus torus
Lois de composition de surfaces branchées pour la description d'attracteurs chaotiques bornés par des tores de genre élevé
Résumé
In this Ph.D. thesis we characterize the topology of chaotic attractors solution to set of differential equations. The first part is devoted to a systematic procedure to construct template for describing the topology of chaotic attractors bounded by torus with a genus-one or higher-genus, in the case where the holes are aligned; this procedure is valid for attractor with symmetry properties or not. We thus constructed reduced templates of many chaotic attractors: template is thus made of at least one mixer defined by a linking matrix. In particular, when the bounding torus has a genus greater than one, direct templates can be viewed as a series of mixers and linkers associated with global torsion allowing to clearly evidencing symmetry properties of attractors.
The second part of this Ph.D. thesis is devoted to the algebraic manipulation of linking matrices describing mixers as well as linkers. We thus defined the concatenation of a global torsion with a mixer (additive law) and the concatenation of two mixers (multiplicative law). Using this laws for combining mixers and linkers, we showed that many reduced -- topologically equivalent -- templates can describe a single attractor. We then defined the notion of an elementary mechanism for closed mixers. By concatenating elementary mixers, we conjectured that it was possible to obtain all elementary mechanisms by recurrence and concatenation. This list of elementary mixers depending on the number of branches could be a base of required knowledge to describe and compare template of attractors bounded by genus-1 torus without any tearing.
Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la topologie d'attracteurs chaotiques solutions de systèmes dissipatifs d'équations différentielles. Dans la première partie, nous avons proposé une procédure systématique de construction des gabarits décrivant la topologie des attracteurs bornés par un tore de genre un ou plus, dans le cas où les trous sont alignés; celle-ci est opérationnelle pour des attracteurs pourvus de propriétés de symétrie ou non. Nous avons ainsi construit les gabarits réduits de plusieurs attracteurs: le gabarit est alors constitué d'au moins un mixeur défini à l'aide d'une matrice d'enlacement. Notamment lorsque le tore bornant est de genre supérieur à un, les gabarits directs se présentent comme une suite ordonnée de mixeurs et d'enlaceurs associés à des torsions globales permettant de mettre clairement en avant les propriétés de symétrie des attracteurs.
La seconde partie de cette thèse est consacrée à la manipulation algébrique des matrices d'enlacement décrivant les mixeurs et les enlaceurs. Nous avons ainsi défini la concaténation d'une torsion globale avec un mixeur (loi additive) et la concaténation de deux mixeurs (loi multiplicative). À l'aide de ces lois de compositions algébriques des mixeurs et enlaceurs, nous avons montré que plusieurs gabarits réduits -- topologiquement équivalents -- pouvaient décrire un même attracteur. Nous avons ensuite défini la notion de mécanisme élémentaire pour les mixeurs fermés. En concaténant les mixeurs élémentaires, nous avons conjecturé qu'il était possible d'obtenir tous les mécanismes élémentaires par récurrence et concaténation. Cette liste de mixeurs élémentaires en fonction du nombre de bandes est une base de connaissances nécessaire à la description et à la comparaison de gabarits d'attracteurs bornés par un tore de genre 1 sans déchirement du flot.