Contrôle optimal et métriques de Clairaut-Liouville avec applications

Résumé : Le travail de cette thèse porte sur l'étude des lieux conjugué et de coupure de métriques riemanniennes ou pseudo-riemanniennes en dimension 2. On se place du point de vue du contrôle optimal pour appliquer le principe du maximum de Pontryagin afin de caractériser les extrémales des problèmes considérés.On va utiliser des méthodes géométriques, numériques et d'intégrabilité pour étudier des métriques de Clairaut-Liouville ou de Liouville sur la sphère. Dans le cas dégénéré de révolution, l'étude de l'ellipsoïde utilise des méthodes géométriques pour déterminer le lieu de coupure et la nature du lieu conjugué dans les cas oblat et prolat. Dans le cas général, les extrémales auront deux types de comportements distincts qui se rapportent à ceux observés dans le cas de révolution, et sont séparés par celles passant par des points ombilicaux. Les méthodes numériques sont utilisées pour retrouver rapidement la dernière conjecture géométrique de Jacobi : le lieu de coupure est un segment et le lieu conjugué contient quatre points de rebroussement.L'étude d'une métrique pseudo-riemannienne vient d'un problème de contrôle quantique où le but est de transférer en temps minimal l'état d'un spin à travers une chaîne de trois spins couplés par des interactions de type Ising. Après réduction, la métrique obtenue possède une intégrale première supplémentaire et on peut donc la mettre sous forme de Liouville, ce qui nous donne les équations des géodésiques. En dehors du cas particulier de Grushin, dont la caustique est décrite, on utilise les méthodes numériques pour étudier le lieu conjugué et le lieu de coupure dans le cas général.
Type de document :
Thèse
Géométrie différentielle [math.DG]. Université de Bourgogne, 2014. Français. <NNT : 2014DIJOS047>
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Soumis le : vendredi 13 mars 2015 - 14:53:05
Dernière modification le : mercredi 14 décembre 2016 - 01:07:13
Document(s) archivé(s) le : dimanche 14 juin 2015 - 11:05:47

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Lionel Jassionnesse. Contrôle optimal et métriques de Clairaut-Liouville avec applications. Géométrie différentielle [math.DG]. Université de Bourgogne, 2014. Français. <NNT : 2014DIJOS047>. <tel-01131399>

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