, Place de la Logique dans l'Activité Mathématique des Étudiants du Premier Cycle Scientifique, Thèse de Doctorat de l'Université de, 1991.
, The interplay between syntactic and semantic knowledge in proof production: Mathematicians' perspectives, Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 5), 2008.
, (année) Cours d'analyse en ligne sur le site de l
, désigne une suite définie par récurrence sous la forme « », où est une fonction continue sur . On a alors le résultat suivant
, alors sa limite est solution de l'équation f(x)=x » Que peut-on dire
, Pour chacune des propositions ci-dessous, dire si elle peut être utilisée, ou non, pour compléter la phrase qui suit afin d'obtenir une définition mathématique correcte. Vous justifierez soigneusement vos réponses : « Une fonction numérique f de la variable réelle x est majorée sur un intervalle I de l'ensemble des nombres réels si et seulement si?????????????.», 10.1. Pour tout x élément de I, f(x)?M 10.2. Si x est un élément de I, alors f(x)?M 10.3. Pour tout x élément de I, il existe un réel M tel que f(x)
, désigne une suite définie par récurrence sous la forme « », où est une fonction continue sur . On a alors le résultat suivant
, alors sa limite est solution de l'équation f(x)=x » Que peut-on dire au sujet de la convergence de la suite si : 11.1. L'équation « f(x)=x » n'a pas de solution 11.2. L'équation « f(x)=x
, tu as l'un des trois cas Faux-vrai ; faux-faux et vrai-vrai, nécessairement ton implication est vraie. Ce x là tu le retiens. Le x qui va rendre ton implication vraie, sera euh ? comment dire, solution de ta? de ton problème. 37 E5 : Bon madame si je comprends bien l'ensemble-là sera, pp.13-15
, est faux (trapèze) 89 E1 : ce n'est ni vrai, ni faux 90 P : Ce n'est ni vrai ni faux car je ne sais pas à quoi renvoie un. C'est un énoncé contingent, c'est-à-dire, un énoncé qui peu être vrai, comme il peut être faux. C'est exactement la même chose que lorsque je parle et je dis x est un nombre pair Je me situe dans l'ensemble des nombres entiers et si je vous donne la phrase suivante x est un nombre pair, qu'est ce que vous allez me dire ? Je suis dans l'ensemble des entiers. Vous allez me dire que c'est faux, vous allez me dire que c'est vrai ? ou alors je dis, un nombre entier est un nombre pair, qu'est ce que vous allez me dire ? 91 E1, E5 : On ne peut rien dire 92 P : On ne peut rien dire parce qu'on ne sait pas à quoi renvoie le un. C'est vrai et c'est aussi faux. Mais si je dis les nombres entiers sont pairs, là j'ai quantifié mon énoncé. 93 E7 : Donc, en réalité c'est parce qu'on ne peut pas attribuer un quantificateur ? 94 P : Là, c'est un problème d'interprétation ; c'est différent du premier où c'est vrai pour tout losange car c'est une propriété des losanges. Lorsque je me situe dans n'importe quel losange, c'est vrai
, Jai l'impression qu'il y a quelque chose qui te gêne. 97 E1 : je pense que lorsqu'on dit un quadrilatère
, Quand je dis soit x, c'est exactement comme lorsque je dis soit x appartenant à R. Qui est ? c'est un élément quelconque que je prends pour faire ma démonstration. Lorsqu'on vous demande de montrer que pour tout x, telle propriété est vérifiée, qu'est ce que vous faites ? On prend un élément, 120 E1 : pas nécessairement. 121 P : pas nécessairement. 122 E2 : (murmure) Ce n'est ni vrai, ni faux ! 123 P : ce n'est ni vrai, ni faux
, Ça peut être vrai comme ça peut être faux Soit un quadrilatère, je prends le cas de ce quadrilatère-là (un trapèze) Les diagonales sont perpendiculaires mais je n'ai pas un losange. Voilà le deuxième quadrilatère, les diagonales sont perpendiculaires et j'ai bien un losange
, ça peut être aussi vrai ! 134 E4 : ça peut être vrai, le carré ! 135 P : tu as le carré, c'est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires 262 P : Prenez la fonction qui à x associe dans ?. C'est une fonction qui satisfait bien 5.3. vrai ou faux ? 263 E5, E3 : Vrai 264 P : Pour chaque x que vous prenez, vous avez toujours un M tel que, Mais est ce que vous pouvez trouver un majorant de 265 E5 : Non, non 266 P : Lorsque vous regardez de manière graphique la courbe c'est ça
, parce que 5.3 est une quantification implicite. Est-ce qu'on peut parler de quantification bornée en 5.4, en 5.5 par rapport au 5.2 ? 275 P : Si est un élément de I. c'est ? Si on l'écrit comme ça. Alors que l'autre c'est quel que soit appartenant à I, il existe
, Tu nous as dit que s'il ne pleut pas tu sors, OK. On arrive chez toi et on constate que tu es sorti 339 E6 : ça veut dire qu'il n'a pas plu. 340 P : ça veut dire quoi ? 341 E6 : qu'il n'a pas plu. 342 E2 : Jamais, c'est pas vrai 343 P: là c'est bien, on tombe dans ce qu'on appelle le conditionnel courant 344 E3 : Est-ce que si tu sors, c'est suffisant pour dire qu'il ne pleut pas ? 345 E7 : S'il ne pleut pas je sors, est ce que tu penses que c'est suffisant pour dire qu'il pleut ? 346 P : je dis s'il ne pleut pas je sort. C'est un énoncé conditionnel
, Je vais chez E5 et je dis, j'étais chez E6 l'autre jour et il m'a dit que s'il ne pleut pas il sortait. Il était sorti, toi tu penses qu
, Quand tu dis s'il ne pleut pas je sors, est ce que ça veut dire que s'il pleut tu vas sortir ? 349 E2 : le fait de sortir n'est pas suffisant pour dire s'il a plu ou pas. perpendiculaires. C'est un rectangle, et un rectangle ne peut pas avoir des diagonales perpendiculaires. Ça, ça fait une proposition qui est fausse. 14 E1 : Pourquoi un rectangle ne peut pas avoir des diagonales perpendiculaires ? c'est pas vrai ! 15 E3 : Quelle
, moi je propose ? On dit toutes les boules contenues dans l'urne sont rouges, c'est-à-dire, quel que soit la boule qui se trouve dans l'urne, elle est rouge
, donnes-nous un peu la contraposée 145 E3 : La contraposée ? 146 E4 : En tenant compte de x et y, où x et y sont là. 147 E3 : voilà, je vais alors dire, quel que soit x, y appartenant à R, ? je vais alors dire, quel que soit x, y appartenant à R, implique, et 148 E1 : En fait
, Oui 156 E3 : Nier la proposition suivante 157 E2 : Voilà ! 158 E1 : on n'a pas dit nier la proposition suivante, « x et y sont dans R ? » 159 E3 : tu me contredis 160 E2 : il ne te contredit pas, voilà ça dans la proposition, voilà les guillemets, non ? 161 E1 : les guillemets veulent dire que la proposition que l'on doit considérer ? 162 E2 : ce qu'il a dit-là, il pouvait même aussi dire ça après 163 E1 : je peux dire ça après ou avant 164 E4 : On est d'accord pour la contraposée ? 165 E2 : Oui, mais avec les pour tout qu'il met avec les x et les y là ! Non. 166 E1 : Je ne suis pas d'accord 167 E3 : On aurait pu fermer les guillemets après réels Après le mot réels, on devait fermer les guillemets, ça devait devenir une proposition. 168 E2 : Donc pour la contraposée, on peut prendre pour tout epsilon strictement positif, 169 E1 : Maintenant c'est il existe, maintenant on veut la négation de la première proposition 170 E4 : La contraposée c'est « non Qnon P », et toi tu mets non et tu ne changes pas. 171 E1 : Donne un peu la négation de la première proposition. Il y a beaucoup de choses qui vont changer. 172 E2 : La première proposition ? Non, rien ne change 173 E1 : la première proposition c'est la négation ! 174 E2 : Non, rien ne change, c'est pour tout 175 E3 : Là n'est pas le problème ! 176 E2 : Ça ne change même pas 177 E1 : vous allez laisser l'implication comme ça ? 178 E4 : donne-moi un peu ta contraposée 179 E3 : Ma négation, n'est ce pas ? 180 E2 : C'est ça que je suis entrain de dire que 181 E3 : Le problème c'est quoi ? je m'intéresse à ça. Ça c'est non P et ça c'est non Q 182 E1 : maintenant tu vas nier P, non ? 183 E3 : Non, on ne dit pas P, c'est P et non Q, non ? 184 E1 : On est à la contraposée. 185 E4 : C'est non P implique non Q, non ? 186 E1 : Tu n'es pas avec nous. Nous sommes maintenant à la contraposée. 187 E3 : La contraposée ? Ok, c'est que c'est ça. 188 E2 : On va encore nier les quantificateurs ? 189 E1 : Non, quand tu dis PQ, ici, P c'est quoi ? 190 E4 : Suivez ce que j'ai proposé. 191 E2 : Moi je propose pour la contraposée 192 E1 : P est où ? P commence à quel que soit 193 E2 : Oui. 194 E4 : Suis un peu ma contraposée. il existe positif et 195 E1 : c'est bon 196 E3 : mais moi je dis quand même qu'il fallait prendre 197 E2 : Non, gars c'est bon, 152 E3 : Si lorsqu'on a déjà 153 E1 : c'est là que la question commence. 154 E3 : Donc on me dit E1 : La réciproque est-elle vraie ? est ce que si est ce que maintenant tout le reste là. 202 E4 : Si on prend 203 E2 : Non, gars c'est pas possible 204 E4 : Comment ? 205 E1 : Dès que x est égal à y 206 E4 : Prenons , n'est ce pas. 207 E2 : on prend, pp.209-213
, est comme si tu prends d'abord les x avant d'aller? On doit fixer d'abord ! c'est M qu'il faut fixer, et ici-là 8 E1 : Donc en fait ici, M dépend de x 9 E2 : Voilà 10 E4 : M n'est pas fixe 11 E3 : Moi je trouve que c'est faux plutôt parce que on ne nous a pas donné une condition sur M. 12 E2 : C'est la même chose qu'on est entrain de dire 13 E3 : Il fallait une condition sur M. M sort d'où ? Bon
, si la solution est négative ? 23 E3 : Non, là n'est pas le problème ! 24 E2 : La limite d'une fonction peut être négative 25 E3 : Là n'est pas le problème ! 26 E1 : A au moins une solution 27 E3 : Bon, a au moins une solution 28 E4 : tel que c'est, ça converge. 29 E2 : Vous racontez quoi-là ? 30 E1 : ça converge 31 E3 : C'est une suite réelle ? 32 E2 : quand la limite existe, elle est unique, si je ne me trompe pas. La limite d'une fonction est unique. 33 E1 : Mais est ce qu'on peut dire que cette limite-là est parmi les solutions ? 34 E3 : Oui, est parmi les solutions de l'équation ? C'est ça, c'est parmi les solutions de l'équation. 35 E4 : moi j'ai l'impression que si ça admet les solutions, si l'équation-ci a déjà deux solutions, ça n'aura pas de limite. 36 E1 : Non, pas forcément. 37 E2 : ça peut avoir de la limite pour peut être à gauche, peut être à droite 38 E4 : Il y a une condition maintenant sur la limite, deux solutions distinctes 39 E2 : Mais ça ne peut pas avoir la limite. 40 E4 : Non, il y a parfois que cette équation a deux solutions, une négative et une positive, et la limite est la solution positive. 41 E2 : Voilà pourquoi alors, ça rejoint? 42 E4 : c'est pourquoi je demandais si l'unique solution est négative ? 43 E1 : ça c'est pas le seul cas. Il peut aussi arriver que une est peut-être inférieure à zé?, à un, l'autre est supérieure à 10 et nous on sait déjà que la limite est supérieure à 9. Il y a juste deux cas. Pas forcément négatif 44 E3 : ça peut être une suite à termes positifs 45 E1 : Non, là se sont déjà des résultats de cours, on va commencer 46 E4 : on dit « l'équation » n'admet pas de solution. On a répondu l'équation a au moins une solution Au moins une, ça veut dire que ça peut avoir plus d'une solution. 47 E1 : Oui, au moins une solution. 48 E4 : ça peut avoir une solution, ça peut avoir deux solutions, ça peut avoir trois solutions, même quatre solutions, ça converge si et seulement si toutes les solutions sont ? égales. 51 E1 : et ça plusieurs solutions ? 52 E4 : Oui. 53 E1 : ça converge si toutes les solutions sont égales ? 54 E3 : Non, pas forcément 55 E1 : les solutions peuvent être différentes, mais l'une des solutions peut être la limite
, Si et seulement si il n'y a qu'une seule solution qui vérifie la définition de la limite
, il y a toujours la limite dedans ? 58 E2 : Pas toujours ! 59 E3 : ça c'est déjà 60 E2 : on résout souvent l'équation-là pour trouver la limite Quand c'est déjà deux, ça veut dire que cette fonction-là n'a pas de limite. 61 E1 : Lorsqu'on sait déjà que la suite converge. Là on sait déjà que la suite converge 62 E4 : là alors tu dis déjà autre chose parce qu'on a une solution ; on a travaillé déjà on dit sur la fiche de TD, on a trouvé deux solutions, il y avait une qui était négative, une qui était positive, on a éliminé celle qui était négative parce que la suite était à termes positifs. 63 E1 : On résout l'équation-là lorsqu'on sait déjà que la suite converge non ? 64 E2 : On peut aussi résoudre pour vérifier si la suite converge ! 65 E1 : Comment-ça ? 66 E4 : Parce que si ça n'admet pas de solution, on saura que ça ne converge pas. 67 E1 : Si ça admet des solutions, tu conclus que ça converge ? 68 E4 : Oui 69 E1 : Ah bon ? 70 E4 : Si ça admet une solution qui définit les conditions de définition de la suite, 71 E1 : Quelles conditions de définition ? 72 E4 : La suite peut être à termes positifs, ça admet 73 E1 : deux solutions positives, deux solutions positives, tu ne peux pas conclure. 75 E1 : c'est justement pourquoi je dit que, est ce que quand il y a les solutions tu conclus ? 76 E4 : mais si ça admet une solution et que cette solution vérifie les conditions, elle converge. Et si elle admet deux solutions qui ne vérifient pas, qui vérifient les conditions et qui sont distinctes, tu conclus que la suite ne converge pas
, est ce que c'est sûr que la suite a une limite ? 80 E4 : Non 81 E1 : C'est pourquoi je dis qu'on ne peut rien dire, on peut seulement dire que c'est possible que la suite converge, n'est ce pas ? 82 E3 : C'est possible. Que peut-on dire au sujet des solutions éventuelles de l'équation si 6.3, la suite est convergente ? : elle admet une limite solution 84 E1 : Non Une unique gars, une unique solution
, on exclut par rapport à la définition de la suite 92 E1 : Voilà ! 93 E2 : Donc elle peut avoir plusieurs solutions, mais une seule vérifie les conditions de notre suite. 94 E4 : je suis entrain de voir dans mon cahier, qu'est c'est l'unique solution 95 E2 : C'est une unique solution 96 E1 : Non, non, vous mentez, vous-même vous avez eu à voir cet exercice. 97 E2 :C'est dans le cas où ça ne converge pas que je pense que ça n'a pas de solution, ou ça admet plusieurs solutions 98 E1 : Non, non, non. Donc tu veux dire que tu n'as jamais résolu un exercice où tu trouves que le truc-ci a deux solutions, tu n'as jamais fait ça ? où tu trouves peut être les solutions -1 et 2 ? 99 E2 : En tout cas, peut-être que je ne me souviens plus que j'ai fait. 100 E1 : tu as déjà fais ça. 101 E2 : Qu'est ce qu'on dit alors ? Que ça n'admet pas de solution tout simplement 102 E1 : Que peut-on dire ? 103 E3 : On a déjà dit que ça admet au moins une solution. 104 E4 : je dis dans le cas où ça ne converge pas ? 105 E3 : On ne peut rien dire 106 E4 : ça admet deux solutions 107 E3 : Non, on ne peut rien dire 108 E4 : ça admet deux solutions distinctes 109 E1 : dans le cas où la suite ne converge pas ? 110 E4 : ça admet des solutions distinctes 111 E1 : dans le cas où la suite ne converge pas ? 112 E4 : Oui 113 E1 : On a dit quand la suite converge, il peut avoir deux solutions distinctes 114 E2 : On peut avoir deux solutions distinctes, mais on peut avoir une seule qui vérifie les conditions de la suite. 134 E1 : Est-ce que je dis que toutes les solutions sont limites. Je n'ai pas dit que toutes les solutions sont limites. Il y a d'abord plusieurs solutions, mais une des solutions est limite. Ça ne contredit pas le fait que la limite existe 135 E2 : J'ai le CIAM ici 136 E4 : J'ai encore l'exercice-là. Hier on était encore avec le groupe de Michel-là, on était là-bas l'autre jour. On a trouvé deux, je crois que c'était le truc où il y avait les pairs et impairs. Une solution était négative, l'autre était positive. On a dit que comme la suite est à termes positifs, on choisit la solution positive. 137 E1 : Comment vous pouvez dire les choses comme ça ? 138 E2 : Limite d'une suite, c'est pour une suite ou pour une fonction ? (il feuillette le livre) 139 E1 : imagine que tu as par exemple une suite qui est en ne vas pas trouver deux solutions ? tu ne peux pas trouver deux solutions ? la suite peut converger en une limite fixe
, Moi je pense, ce que tu dis là, n'est ce pas, parce regarde bien On définit, la suite est telle que si on a , on définit en fonction de et on sait que doit appartenir à l'intervalle image de . Parce que si est une fonction définie sur I, doit appartenir à l'intervalle image de I. Or d'après ce que tu es entrain de dire-là
, On peut trouver des boules dans l'urne qui ne sont pas rouges. 227 E3 : Il existe des boules dans l'urne, il existe des boules dans l'urne qui ne sont pas rouges. 228 E1 : Qui ne sont pas rouges. 229 E2 : Bon si on veut mettre ça sous forme d'implication ? 230 E1 : D'implication, tu veux dire quoi ? 231 E2 : Quelque soit ?, Il faut laisser ça comme ça. 232 E2 : On peut mettre ça sous forme d'implication, on peut 233 E1 : Quelque soit x appartenant à 234 E2 : Toutes les boules contenues dans l'urne sont rouges. On peut prendre que la proposition P ici c'est quoi ? 235 E1 : Les boules qui sont dans l'urne. Non, P par exemple « x est dans l'urne ». 236 E2 : Quelque soit la boule dans l'urne 237 E1 : Non, x dans l'urne, pour tout x dans ???????x est rouge 238 E3 : Quelque soit x dans l'urne, 239 E2 : x est rouge 240 E1 : On ne peut pas mettre ça sous forme d'implication 241 E3 : Ca ne peut aller sous forme d'implication 242 E1 : Ca ne peut aller sous forme d'implication 243 E3 : La négation c'est simplement comme on fait là 16 E7 : Il n'y a que les deux intervalles 17 E5 : Maintenant 8.2 lecture. Là je n'ai trouvé aucun intervalle qui marche. On peut trouver un élément b, un peu comme si c'était le maximum 18 E7 : non 19 E5 : un peu comme si c'était le maximum. 20 E7 : Comme si b était le max ? 21 E5 : b c'est le max, et quand tu vois même b là. Même pas que b c'est le max, c'est pas le max 22 E7 : c'est le max 23 E5 : c'est? si était le max, n'est ce pas, ça allait être . Ce n'est pas, On dit « toutes les boules contenues dans l'urne sont rouges : il y a quelque chose de bizarre, puisqu'il est dans I, ça ne peut pas être vrai ! On ne peut pas trouver un pareil élément 28 E7 : b c'est un majorant 29 E5 : b est un élément de I, et si on prend un x quelconque élément de I, ces éléments-là sont plus petits que . moi je n'ai trouvé aucun intervalle qui marche. 30 E2 : c'est une autre chose ! 31 E5 : il faut être d'accord 32 E7 : ça ne marche pas, il n'y a aucun?6mn 22s puis 11mn, p.46
, 105 E5 : C'est un quadruplet 106 E7 : C'est sous forme de 107 E2 : c'est l'ensemble des diviseurs d'un nombre entier 108 E7 : l'ensemble des diviseurs de a est égal à , l'ensemble des diviseurs de b est égal à . 109 E2 : parce que le mot premier, ça fait un genre 110 E6 : ça ce n'est pas un nombre premier. Je pense que c'est l'ensemble des diviseurs positifs. Mais quand on dit un nombre premier, il a quatre diviseurs, -1, 1 lui-même et son opposé, Tu as agrandi le cercle. Bon comment 111 E2 : je pense que c'est aussi une écriture pour les nombres premiers
, existe pas E21 La suite peut converger E40 On ne peut rien dire car n'est pas donné E59 On ne peut rien dire au sujet de la convergence de la suite E01, p.64
, L'une de ces solutions peut être la limite de E02 La suite converge et la limite en cas de solution multiple aura le signe des termes de la suite E26 converge vers la solution qui vérifie les conditions E61 La suite converge E27 Le résultat peut dépendre des propriétés de Si est positive, est négative par exemple, on peut avoir des résultats différents E29 La suite converge vers l'image par f de l'une de ces solutions E24, E33, E38, E45 La suite converge vers cette solution E14 suite ne converge pas E25 La suite n'admet pas de limite car la limite de est unique E49, E68, E65 Si une unique solution, la suite converge, sinon elle diverge E34 Dépend des conditions de l'exercice E40 On ne peut rien dire car n'est pas donné E42 On ne dira rien car avoir une solution unique est contenu dans la proposition avoir au moins une solution E56 La suite converge vers cette solution à condition qu'elle soit positive E55 La suite admet au moins une sous suite convergente E62 La suite a plusieurs limites, ce qui contredit l'unicité de la limite, p.64
, En1 : ouh ! là, pas du tout Les symboles, le et on écrit et e, t (58) J : Et l'implication ? (59) En1 : on va mettre si, ?, alors ?ou bien tel entraine (60) J : Donc pas la flèche. (61) En1 : Non, pas (62) J : Même au cours d'un raisonnement ? (63) En1 : Je tente les flèches dans les classes où ils sont un peu plus bien en maths. Première C, terminale C., terminale D. Première D, là ! Parce que le danger c'est quand tu te mets à les utiliser à un niveau, sans être sûr que c'est mis en place depuis, bon lui il voit comme tu as mis les flèches, et lui balance ça partout. Puisque il sait que quand il y a un trou on met la flèche ! Le jour où il est entrain de faire un raisonnement, il veut écrire une équivalence directement, il met toujours la flèche après il continue, 56) J : Et par rapport toujours aux connecteurs Parfois on est donc obligé d'écrire ceci entraine que, ceci est vrai si et seulement si tel autre est vrai
, La limite d'une fonction est toujours finie Une fois de plus, je suis entrain de m'apercevoir qu'on est entrain de dire que quel que soit une fonction , sa limite n'importe où est toujours finie. Et là il va encore buter une fois de plus sur le problème de la négation du quantificateur quel que soit. La difficulté principale qu'il y a c'est justement leur capacité à la maîtrise des outils logiques élémentaires qui va bloquer ceux qui ne vont pas s'en sortir dans les quatre questions-là
, L'enfant peut dire comment prouver que P ou Q est vrai ? Soit je montre que? Parce que très souvent le raisonnement que je fais en Terminale C, c'est de supposer que le premier cas est faux, c'està-dire , quand je veux montrer que est vrai Je suppose que, si P est vrai, sera vrai. C'est de supposer que P est faux et de démontrer nécessairement que Q est faux. Et là il faut choisir la bonne, il faut choisir la bonne proposition. Est-ce qu'il faut supposer que P est vraie ou supposer que Q est vrai et montrer que le reste est faux ? C'est généralement dans ce genre de situations que nous utilisons les connecteurs P ou Q. les connecteurs P et Q, pour que ce soit vrai, il faut que les deux soient vrais en même temps. Donc, quand il y a une situation comme ça qui se présente, l'enfant sait que
, est-à-dire que, quel que soit n, il existe un x n , on comprend que le x est lié à n. donc que, avec 2 j'aurai x 2 , avec 3, j'aurai x 3 , que le x 3 n'est pas forcément lié à 2, ainsi de suite. Donc quand on a des situations pareilles, on utilise la notation indiciaire Au lieu de dire, quel que soit x, il existe un y, on dira plutôt quel que soit , il existe un (69) J : Oui, est indicé en , pour dire? (70) En2 : on comprend la corrélation qu'il y a entre et, 71) J : OK, OK. (72) En2 : Parce que quand on dit quel que soit , il existe un , l'enfant ne comprend pas que (73) J : Qu'il ya un lien (74) En2 : est lié à
, Avec beaucoup de difficultés ; l'enfant aura du mal à raisonner En algèbre, en topologie, ils auront du mal J'en rencontre qui viennent me voir ! Ils ont vraiment du mal à raisonner, à comprendre Parce que la notion de quantificateur, la notion de notation de variable, ils ne comprennent pas. (95) J : Et dans ce cas, quelles propositions tu pense que? (96) En2 : Je dis, il faut revenir, je pense qu'il faut revenir sur l'enseignement de la logique, ça permet de comprendre. Faisons comme les ? faisons comme à Fustel (Collège français à Yaoundé) Ils sont revenus, avec, je prends le simple cas des limites Limite de , alors quel que soit epsilon, il existe un r tel que valeur absolue de x moins x 0 plus petit que r (97) J : La définition véritable de la limite (98) En2 : La définition véritable ! Mais aujourd'hui, dites ça dans une classe, vous perdez tout le monde. Vous perdez tout le monde, parce qu'ils ne comprennent pas. On leur a dit que pour donner la limite, si c'est un polynôme, on prend le monôme de plus haut degré, si c'est une fonction rationnelle, on prend le rapport? la notion même de limite, ils ne la comprennent pas. Et c'est pour ça que quand ils arrivent en première année, en topologie, quand on parle de boule, quand parle des ouverts, des fermés, ils sont un peu perdus. Parce que là, on ne va pas prendre l'intervalle . On dit quel que soit, on prend un ouvert centré en x 0 , il doit comprendre que, il faut trouver un epsilon tel que, comme à l'école Fustel, revenir à cette écrire (99) J : Ecriture formelle, définition formelle. (100) En2 : Je pense qu'il faudrait revenir à ça
, sur dix élèves que j'ai encadrés, la moitié peut répondre, la moitié pas. Pas parce que les autres, les autres, ils n'auront pas? Les autres je précise vous donnerons la solution uniquement dans l'ensemble des nombres pairs inférieurs à vingt, c'està-dire , ils iront chercher les solutions dans les nombres pairs, Ici par exemple dans cet exercice, tous les nombres impairs sont solution, mais ils iront chercher seulement les solutions dans les nombres pairs
, on fait comme ça, le professeur a demandé de faire par l'absurde, on fait par l'absurde. Est-ce que c'est l'absurde, est ce que ce n'est pas l'absurde
, S'il existe une fonction dérivable, alors elle est continue. S'il n'existe pas de fonction dérivable, bon? 45 J : ok. Parce que beaucoup? j'ai discuté avec Es1 5 la dernière fois. Il était catégorique, d'après lui le 1 c'est un universel, donc ça signifie qu'en fait ce 1 là est problématique
, cette troisième question ils peuvent le faire, certains peuvent bien le faire ; ils peuvent le faire d'une façon générale, ils peuvent. C'est vrai que c'est à la fin peut être de la première année qu'ils peuvent avoir à faire toutes les questions, parce qu'ils auraient fait un cours de géométrie
, la 2 ème l'équation a solution, on demande donc de dire si la suite converge dans le cas où a au moins une solution. Moi j'ai fait un test, et ils m'ont répondu que si ça à au moins une solution, alors, la suite converge. Or, normalement
, est un problème d'intervalle, les termes de la suite peuvent être dans cet intervalle comme ça ne peut pas l'être Donc si ce n'est pas dans cet intervalle là, la suite ne va pas converger. Les termes de la suite sont définis dans un intervalle 55 J : ils ont appelés ça le support de la suite 56 Es : oui, c'est ça, le support de la suite, c'est cet intervalle. Si dans cet intervalle là, il n'y a pas de solution, il n'y a pas de points fixes, la suite ne converge pas. Parce que si elle converge, nécessairement la limite est solution de cette équation. Or, l'image de cet intervalle est contenue dans le même intervalle, ce qui veut donc dire que si tous les termes de la suite y sont
, son successeur c'est 3, il est premier Après c'est 4, son successeur c'est 5, il est premier, après c'est 8, le successeur c'est 9, il n'est pas premier. Ensuite c'est 10, le successeur est premier. Donc d'aucun vont le faire manuellement, est ce qu'ils vont arriver à trouver tous les nombres ?
, 20, manuellement, on va le faire, puisque ce n'est pas compliqué, on écrit tous les nombres pairs, on ajoute +1 Comme on avait 10, on additionne à 11, après on passe à 14, on a 15 qui n'est pas, ainsi de suite. Bon si ce n'est que ça, p.20
, Les effets didactiques des différences de fonctionnement de la négation dans la langue arabe, 2005.
, Négation grammaticale versus négation logique dans l'apprentissage des mathématiques. Exemple dans l'enseignement secondaire Tunisien, Cahiers du Français Contemporain, vol.9, pp.29-55, 2004.
, Questions de logique et de langage à la transition secondaire ? supérieur : L'exemple de la négation, 2009.
, Construction de connaissances mathématiques dans la scolarisation en français langue seconde, Cahiers du Français Contemporain, vol.9, pp.57-76, 2004.
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DOI : 10.1007/BF01274210
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