On the subject of automata : random generation and contribution to some extensions
Autour des automates : génération aléatoire et contribution à quelques extensions
Résumé
The subject of this thesis is decided into three parts: two of them are about extensions of the classical model in automata theory, whereas the third one is about a more concrete aspect which consists in randomly generate automata with specific properties. We first give an extension of the universal automaton on finite words to infinite words. To achieve this, we define a normal form in order to take account of the specific acceptance mode of Büchi automata which recognize omega-langages. Then we define two kinds of omega-factorizations, a "regular" one and the "pure" kind, which are both extensions of the classical concept of factorization of a language. This let us define the universal automaton of an omega-language. We prove that it has all the required properties: it is the smallest Buchi automaton, in normal form, that recognizes the omega-language and which has the universal property. We also give an effective way to compute the "regular" omega-factorizations of a language using a prophetic automaton recognizing the language. In the second part, we deal with two-way automata weighted over a semi ring. First, we give a slightly different version of the computation of a weighted one-way automaton from a weighted two-way automaton and we prove that it preserves the non-ambiguity but not the determinism. We prove that non-ambiguous weighted two-way automata are equivalent to deterministic weighted one-way automata. In a later part, we focus on tropical semi rings (or min-+). We prove that two-way automata on N-min-+ are equivalent to one-way automata on N-min-+. We also prove that the behavior of two-way automata on Z-min-+ are not always defined and that this property is decidable whereas it is undecidable whether or not there exists a word on which the behavior is defined. In the last section, we propose an algorithm in order to randomly generate acyclic, accessible and determinist automata and minimal acyclic automata with an almost uniform distribution using Morkov chains. We prove the reliability of both algorithms and we explain how to adapt them in order to fit with constraints on the set of final states
Le sujet de cette thèse se divise en trois parties: les deux premières traitent chacune d'une extension du modèle utilisé en théorie des automates, tandis que la dernière aborde une partie plus concrète qui consiste à générer des automates avec des propriétés particulières. Tout d'abord, nous donnons une extension du concept d'automate universel, défini sur les mots finis, aux omega-langages. Pour cela, nous avons défini une forme normale pour tenir compte de la spécificité du mode d'acceptation des automates de Büchi qui nous permettent de reconnaître les omega-langages. Ensuite nous avons défini deux types d'omega-factorisations, "classiques" et "pures", qui sont des extensions du concept de factorisation d'un langage, ce qui nous a permis de définir l'automate universel d'un omega-langage. Nous avons prouvé que ce dernier dispose bien des différentes propriétés attendues: il est le plus petit automate de Büchi reconnaissant l'omega-langage et qui possède la propriété d'universalité (moyennant la forme normale). Nous présentons également une méthode pour calculer efficacement les omega-factorisations maximales d'un langage à partir d'un automate prophétique reconnaissant le dit langage. Dans la seconde partie, nous traitons le cas des automates bidirectionnels à multiplicité dans un semi-anneau. Dans un premier temps, nous donnons une version légérement différente de la construction permettant de passer d'un automate bidirectionnel à multiplicité à un automate unidirectionnel à multiplicité et nous prouvons qu'elle préserve la non-ambiguïté mais pas le déterminisme. Nous montrons, également à l'aide d'une construction, que les automates bidirectionnels à multiplicité non-ambigus sont équivalents aux automates unidirectionnels à multiplicité déterministes. Dans un second temps, nous nous concentrons sur les semi-anneaux tropicaux (ou min-+). Nous montrons que sur N-min-+, les automates bidirectionnels sont équivalents aux automates unidirectionnels. Nous montrons également que sur Z-min-+, les automates bidirectionnels n'ont pas toujours un comportement défini et que cette propriété est décidable tandis qu'il n'est pas décidable s'il existe un mot pour lequel le comportement est défini. Dans la dernière partie, nous proposons un algorithme de génération aléatoire d'automate acycliques, accessibles et déterministes ainsi que d'automates acycliques minimaux avec une distribution qui est quasiment uniforme, tout cela à l'aide de chaîne de Markov. Nous prouvons l'exactitude de chacun de ces deux algorithmes et nous expliquons comment adapter en tenant compte de contraintes sur l'ensemble des états finals
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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