Formal Description of Geometrical Properties

Tuan Minh Pham 1
1 MARELLE - Mathematical, Reasoning and Software
CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée
Résumé : La géométrie synthétique, aussi parfois appelée géométrie axiomatique, s'intéresse purement aux objets géométriques. En reposant sur des axiomes et des théorèmes qui mettent en relation les concepts de base de la géométrie, elle permet de mettre en valeur les propriétés géométriques pendant les preuves mathématiques. Cette thèse se concentre sur les propriétés géométrique et leur description dans le système de preuve Coq. Les deux résultats principaux sont une bibliothèque de descriptions formelles et une extension du système de preuve pour permettre une interaction directe avec les objets géométriques pendant les preuves. La première partie présente notre formalisation de la géométrie euclidienne basée sur la géométrie affine. Nous approchons les notions, les propriétés, et les théorèmes dans un style similaire à celui utilisé dans l'enseignement au lycée. Notre développement améliore le développement fourni précédemment par F. Guilhot en éliminant les axiomes inutiles, en fournissant des définition mieux appropriées pour certains objets géométriques, et en re-formalisant leurs propriétés. La deuxième partie s'intéresse à la question de l'orientation dans le plan. Cela permet d'enlever certaines ambiguïtés dans la présentation des objets géométriques et d'énoncer des problèmes de géométrie "ordonnée" et de les prouver. La troisième partie s'intéresse à des questions de fondement. En particulier, nous montrons que les systèmes d'axiomes de Hilbert et Tarski peuvent être modélisés dans notre système. Nous montrons également que notre système d'axiome peut supporter les outils de preuve automatique basés sur la méthode des aires ou sur les bases de Gröbner. Le travail sur les bases de Gröbner a été effectué en collaboration avec J. Narboux. La quatrième partie présente une combinaison de l'outil de preuve formel Coq avec l'outil de géométrie dynamique GeoGebra, en se reposant sur l'interface d'utilisation pour Coq développée en Java et appelée Pcoq. Le résultat de cette combinaison permet aux utilisateurs d'effectuer facilement des raisonnements géométriques dans le style de la géométrie du lycée, interactivement et avec le support d'une interface graphique. Ceci montre comment un système de preuve pourrait être utilisé en éducation. Mots-clefs: Formalisation de la géométrie, Preuve interactive, Coq, logiciel de géométrie dynamique.
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Thèse
Logic in Computer Science [cs.LO]. Univeristé Nice Sophia Antipolis, 2011. English
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Contributeur : Yves Bertot <>
Soumis le : lundi 2 février 2015 - 16:28:35
Dernière modification le : jeudi 11 janvier 2018 - 16:19:45
Document(s) archivé(s) le : mercredi 27 mai 2015 - 15:44:26

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Tuan Minh Pham. Formal Description of Geometrical Properties. Logic in Computer Science [cs.LO]. Univeristé Nice Sophia Antipolis, 2011. English. 〈tel-01112334〉

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