Study of some fractal and pathwise properties of continuous branching processes
Sur des propriétés fractales et trajectorielles de processus de branchement continus
Résumé
This thesis investigates some fractal and pathwise properties of branching processes with continuous time and state-space. Informally, this kind of process can be described by considering the evolution of a population where individuals reproduce and die over time, randomly. The first chapter deals with the class of continuous branching processes with immigration. We provide a semi-explicit formula for the hitting times and a necessary and sufficient condition for the process to be recurrent or transient. Those two results illustrate the competition between branching and immigration. The second chapter deals with the Brownian tree and its local time measures : the level-sets measures. We show that they can be obtained as the restriction, with an explicit multiplicative constant, of a Hausdorff measure on the tree. The result holds uniformly for all levels. The third chapter study the Super-Brownian motion associated with a general branching mechanism. Its total occupation measure is obtained as the restriction to the total range, of a given packing measure on the euclidean space. The result is valid for large dimensions. The condition on the dimension is discussed by computing the packing dimension of the total range. This is done under a weak assumption on the regularity of the branching mechanism.
Cette thèse étudie certaines propriétés fractales et trajectorielles de processus de branchement en temps et espace continus. De façon informelle, ce type de processus est obtenu en considérant l'évolution d'une population où les individus se reproduisent et meurent au cours du temps, et ce de manière aléatoire. Le premier chapitre concerne la classe des processus de branchement avec immigration. On donne une formule semi-explicite pour la transformée de Laplace des temps d'atteinte ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante de récurrence-transience. Ces deux résultats illustrent la compétition branchement/immigration. Le second chapitre considère l'arbre Brownien et ses mesures de temps local, dites mesures de niveau. On montre que celles-ci s'obtiennent comme restriction, à une constante près explicitée, d'une certaine mesure de Hausdorff sur l'arbre. Le résultat est montré simultanément pour tous niveaux. Le troisième chapitre étudie le Super-mouvement Brownien associé à un mécanisme de branchement général. Sa mesure d'occupation totale est obtenue comme restriction d'une certaine mesure de packing dans l'espace euclidien. Le résultat est valable en grande dimension. La condition sur la dimension de l'espace ambiant est discutée à travers le calcul, sous des hypothèse de régularité faibles pour le mécanisme de branchement, de la dimension de packing du range total du processus.
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