Theoretical and numerical study of a few stochastic models of statistical physics

Résumé : Dans cette thèse, nous nous intéressons essentiellement à trois sujets : les inégalités fonctionnelles à contenu probabiliste, les limites hydrodynamiques pour les systèmes de spins continus en interaction et la discrétisation des équations différentielles stochastiques. Ce document, outre l'introduction, comporte trois parties. La première s'intéresse aux inégalités fonctionnelles, et notamment aux inégalités de Sobolev logarithmiques, pour les mesures canoniques, ainsi qu'aux limites hydrodynamiques pour les systèmes des spins continus. La convergence vers la limite hydrodynamique pour plusieurs variantes du modèle de Ginzburg--Landau équipé de la dynamique de Kawasaki y est obtenue, avec notamment des bornes quantitatives en le nombre de spins. On y étudie également la convergence de l'entropie microscopique vers l'entropie hydrodynamique. La deuxième partie étudie les liens entre flots gradients dans les espaces de mesures de probabilités et grandes déviations pour les suites de lois de solutions d'équations différentielles stochastiques. On y obtient l'équivalence entre le principe de grandes déviations et la Gamma-Convergence d'une suite de fonctionnelles apparaissant dans la formulation en flots gradients du flot de marginales des lois des solutions des équations différentielles stochastiques. Comme application de ce principe, on obtient les grandes déviations par rapport à la limite hydrodynamique pour deux variantes du modèle de Ginzburg--Landau. La troisième partie concerne la discrétisation des équations différentielles stochastiques. On y prouve une inégalité transport-Entropie pour la loi du schéma d'Euler explicite. Cette inégalité implique des bornes sur les intervalles de confiance pour l'estimation de quantités de la forme $\mathbb{E}[f(X_T)]$. On y étudie également l'erreur de discrétisation pour l'évaluation des coefficients de transport avec l'algorithme MALA (qui est une combinaison du schéma d'Euler explicite et de l'algorithme de Metropolis--Hastings).
Type de document :
Thèse
General Mathematics [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. English. <NNT : 2014PA066349>
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Contributeur : Max Fathi <>
Soumis le : jeudi 18 décembre 2014 - 13:43:53
Dernière modification le : jeudi 27 avril 2017 - 09:45:51
Document(s) archivé(s) le : lundi 23 mars 2015 - 16:43:22

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Max Fathi. Theoretical and numerical study of a few stochastic models of statistical physics. General Mathematics [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. English. <NNT : 2014PA066349>. <tel-01096886>

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