Non linear models from relativistic quantum mechanics : spectral and asymptotic analysis and related problems.
Modèles non linéaires issus de la mécanique quantique relativiste : analyse spectrale, asymptotique et problèmes associés.
Résumé
This thesis is devoted to some problems from relativistic and non relativistic mechanics.In a first part, I describe my work on spectral pollution. I present first the results on the stability by perturbation of this phenomenon from numerical spectral theory. Then I detail the analysis of two methods of approximation of the spectrum free from any pollution : the quadratic projective method applied to Dirac operators and the Davies-Plum method applied, among others, to the Maxwell operator in a bounded cavity.In a second part, I present two analysis on the dispersive properties of the Dirac operator. The first one is on Kato smoothness estimates for coulombic type perturbations obtained by Mourre's methods. The second one is on Morawetz estimates for magnetic perturbations.The third part describes the results on the bilinear control of Schr\"odinger equations. It is essentially results on approximate controllability with low time regularity and non controllability. Some quantitative results on the time and energy control are also presented.The last part describes the analysis of the stability of stationary solutions of non linear Dirac equations. An analysis of the spectral properties of the linearisation gives results on the linear stability while the analysis of non linear resonances gives asymptotic stability properties.
Ce mémoire est consacré à l'étude de quelques problèmes issus de la mécanique quantique relativiste et non relativiste.Dans une première partie, je décris mes travaux sur l'analyse de la pollution spectrale. Je présente dans un premier temps les résultats de stabilité par perturbation de ce phénomène de la théorie spectrale numérique. Puis je détaille l'analyse de deux méthodes d'approximation du spectre exemptes de pollution : la méthode du second ordre appliquée à des opérateurs de Dirac et la méthode de Davies et Plum appliquée, entre autres, à l'opérateur de Maxwell dans une cavité bornée.Dans une seconde partie, je présente deux analyses des propriétés dispersives de l'opérateur de Dirac. La première porte sur les estimations de Kato pour des perturbations coulombiennes obtenues par des méthodes de Mourre. La seconde s'intéresse à des estimations de Morawetz pour des perturbations magnétiques. La troisième partie décrit l'ensemble des résultats obtenus en théorie du contrôle bilinéaire d'équations de Schr\"odinger. Il s'agit essentiellement de résultats de contrôlabilité approchée avec régularité faible en temps ou de résultats de non contrôlabilité. Des résultats quantitatifs sur le temps ou l'énergie de contrôle sont également présentés.La dernière partie décrit l'analyse de la stabilité de solutions stationnaires d'équations de Dirac non linéaires. Une analyse des propriétés spectrales de la linéarisation donne des résultats de stabilité linéaire alors que l'analyse des résonances non linéaires permet de préciser les propriétés de stabilité asymptotique.